Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta có: $n^5-2011n=(n^5-n)-2010n$
$=n(n^4-1)-2010n=n(n^2-1)(n^2+1)-2010n$
$=n(n-1)(n+1)(n^2+1)-2010n$
Vì $n, n-1, n+1$ là 3 số nguyên liên tiếp nên chắc chắn tồn tại ít nhất 1 số chẵn, và tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho $3$
$\Rightarrow n(n-1)(n+1)(n^2+1)=n(n^2-1)(n^2+1)$ chia hết cho $2$ và chia hết cho $3$ $(*)$
Mặt khác, ta biết 1 số chính phương khi chia cho $5$ có thể có dư là $0,1,4$
Nếu $n^2$ chia $5$ dư $0$ thì $n\vdots 5\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5$
Nếu $n^2$ chia $5$ dư $1$ thì $n^2-1\vdots 5\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5$
Nếu $n^2$ chia $5$ dư $4$ thì $n^2+1\vdots 5\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5$ $(**)$
Từ $(**); (*)$ mà $(2,3,5)$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên $n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 30$
Mà $2010n\vdots 30$ do $2010\vdots 30$
Do đó $n^5-2011n=n(n^2-1)(n^2+1)-2010n\vdots 30$
Ta có đpcm.
Tóm lại $n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5$
BN thử vào câu hỏi tương tự xem có k?
Nếu có thì bn xem nhé!
Nếu k thì xin lỗi đã làm phiền bn
Hội con 🐄 chúc bạn học tốt!!!
a: \(\left(n+3\right)^2-n^2=\left(n+3+n\right)\left(n+3-n\right)\)
\(=3\left(2n+3\right)⋮3\)
b: Đặt A=\(\left(n-5\right)^2-n^2\)
\(A=\left(n-5\right)^2-n^2\)
\(=n^2-10n+25-n^2\)
\(=-10n+25=5\left(-2n+5\right)⋮5\)
\(A=\left(n-5\right)^2-n^2\)
\(=-10n+25\)
\(-10n⋮2;25⋮̸2\)
=>-10n+25 không chia hết cho 2
=>A không chia hết cho 2
(n + 3)² - n² = n² + 6n + 9 - n²
= 6n + 9
= 3(3n + 3) ⋮ 3
Vậy [(n + 3)² - n²] ⋮ 3 với mọi n ∈ ℕ
--------
(n - 5)² - n² = n² - 10n + 25 - n²
= -10n + 25
= -5(2n - 5) ⋮ 5
Do -10n ⋮ 2
25 không chia hết cho 2
⇒ -10n + 25 không chia hết cho 2
Vậy [(n - 5)² - n²] ⋮ 5 và không chia hết cho 2 với mọi n ∈ ℕ
Bg
C1: Ta có: n chia hết cho 11 dư 4 (n \(\inℕ\))
=> n = 11k + 4 (với k \(\inℕ\))
=> n2 = (11k)2 + 88k + 42
=> n2 = (11k)2 + 88k + 16
Vì (11k)2 \(⋮\)11, 88k \(⋮\)11 và 16 chia 11 dư 5
=> n2 chia 11 dư 5
=> ĐPCM
C2: Ta có: n = 13x + 7 (với x \(\inℕ\))
=> n2 - 10 = (13x)2 + 14.13x + 72 - 10
=> n2 - 10 = (13x)2 + 14.13x + 39
Vì (13x)2 \(⋮\)13, 14.13x \(⋮\)13 và 39 chia 13 nên n2 - 10 = (13x)2 + 14.13x + 39 \(⋮\)13
=> n2 - 10 \(⋮\)13
=> ĐPCM
A = n⁵ - n
= n(n - 1)(n + 1)(n² + 1)
= n(n - 1)(n + 1)(n² - 4 + 5)
= n(n - 1)(n + 1)[(n-2)(n+2)+5]
= n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) + 5n(n - 1)(n + 1)
Vì n(n - 2)(n + 2)(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5 (vì là tích 5 số nguyên liên tiếp)
Mà 5n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5
=> n(n - 2)(n + 2)(n - 1)(n + 1) + 5n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5
=> A chia hết cho 5
\(55^{n+1}-55^n\)
\(=55^n.55-55^n\)
\(=55^n.\left(55-1\right)\)
\(=55^n.54\)
Ta có: \(54⋮54\)
\(\Rightarrow55^n.54⋮54\)
\(\Rightarrow55^{n+1}-55^n⋮54\)
đpcm
\(\left(5n+2\right)^2-4\)
\(=\left(5n+2\right)^2+2^2\)
\(=\left(5n+2+2\right).\left(5n+2-2\right)\)
\(=\left(5n+4\right).\left(5n\right)\)
Vậy \(\left(5n+2\right)^2-4\)chia hết cho 5 với mọi số nguyên n
Có : 55n + 1 – 55n
= 55n.55 – 55n
= 55n(55 – 1)
= 55n.54
Vì 54 chia hết cho 54 nên 55n.54 luôn chia hết cho 54 với mọi số tự nhiên n.
Vậy 55n + 1 – 55n chia hết cho 54.
