K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

4 tháng 12 2017

Bài 5: 

Giả sử tồn tại 7 số không thỏa mãn điều kiện đề bài. Không mất tính quát, ta coi rằng \(x_1< x_2< ...< x_7\)

Do 7 số đã cho là các số nguyên dương nên :

\(x_2\ge x_1+1\)

\(x_3+x_1\ge4x_2\ge4\left(x_1+1\right)\Rightarrow x_3\ge3x_1+4\)

\(x_4+x_1\ge4x_3\ge4\left(3x_1+4\right)\Rightarrow x_4\ge11x_1+16\)

\(x_5+x_1\ge4x_4\ge4\left(11x_1+16\right)\Rightarrow x_5\ge43x_1+64\)

\(x_6+x_1\ge4x_5\ge4\left(43x_1+64\right)\Rightarrow x_6\ge171x_1+256\)

\(x_7+x_1\ge4x_6\ge4\left(171x_1+256\right)\Rightarrow x_7\ge683x_1+1024\)

Do x1 là số nguyên dương nên \(x_1\ge1\Rightarrow x_7\ge683+1024=1707>1706\) (Vô lý)

Vậy nên phải tồn tại bộ ba số thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

7 tháng 10 2018

Bạn gõ thừa số "1" thì phải ?

Đặt \(\frac{x+\sqrt{2017}y}{y+\sqrt{2017}z}=m\) (với \(m\in Q\)

\(\Rightarrow x+\sqrt{2017}y=my+mz\sqrt{2017}\)\(\Leftrightarrow\left(x-my\right)-\sqrt{2017}\left(y-mz\right)=0\)(*)

+) Nếu \(y-mz\ne0\) thì: \(\sqrt{2017}=\frac{-\left(x-my\right)}{y-mz}\) (1)

Ta có: \(x;y;z\in N;m\in Q\Rightarrow\frac{-\left(x-my\right)}{y-mz}\in Q\)             (2)

\(\sqrt{2017}\in I\) (Do 2017 không phải số chính phương)           (3)

Từ (1); (2) và (3) => Mâu thuẫn => \(y-mz\ne0\)(loại)

+) Nếu \(y-mz=0\) thì: Từ (*) =>   \(\hept{\begin{cases}x-my=0\\y-mz=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=my\\y=mz\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m=\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\\x=m^2z\\y=mz\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y^2=xz\\x=m^2z\\y=mz\end{cases}}\)

Đặt \(x^2+y^2+z^2=p\) (p nguyên tố) \(\Rightarrow\left(x+z\right)^2-2xz+y^2=p\)

\(\Rightarrow\left(x+z\right)^2-y^2=p\)(Do y2 = xz) \(\Leftrightarrow\left(x+z-y\right)\left(x+y+z\right)=p\)

Ta thấy x;y;z thuộc N* => \(x+z-y\le x+y+z\)

Nên \(\hept{\begin{cases}x+z-y=1\left(4\right)\\x+y+z=p\end{cases}}\)(Vì p là số nguyên tố) 

Lại có: \(x^2+y^2+z^2=p\Rightarrow m^4z^2+m^2z^2+z^2=p\) (Do x = m2z; y = mz)

\(\Leftrightarrow z^2\left(m^4+m^2+1\right)=p\Rightarrow\hept{\begin{cases}z=1\\m^4+m^2+1=p\end{cases}}\)(p nguyên tố)

Thay z=1 vào (4) ta có: \(x-y+1=1\Leftrightarrow x=y\)

\(m^4+m^2+1=p\Leftrightarrow\left(m^2+m+1\right)\left(m^2-m+1\right)=p\)

\(\Rightarrow m^2-m+1=1\Leftrightarrow m^2-m=0\Leftrightarrow m\left(m-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=1\\m=1\end{cases}}\)

+) Nếu m=0 thì: \(\frac{x+y\sqrt{2017}}{y+z\sqrt{2017}}=0\Rightarrow x+y\sqrt{2017}=0\)(Do \(y+z\sqrt{2017}\ne0\))

Mà x;y thuộc N* nên \(x+y\sqrt{2017}>0\)=> Loại.

+) Nếu m=1 thì \(x+y\sqrt{2017}=y+z\sqrt{2017}\Rightarrow y\sqrt{2017}=z\sqrt{2017}\)(x=y)

\(\Rightarrow y=z\Rightarrow x=y=z=1\) (Vì z=1) 

Khi đó: \(\hept{\begin{cases}\frac{x+\sqrt{2017}y}{y+\sqrt{2017}z}=1\\x^2+y^2+z^2=3\end{cases}}\) (thỏa mãn). Vậy x=y=z=1.

25 tháng 7 2016

giúp mình nhé 

Đề thi tham khảo chuyên toán vào 10. Thời gian làm bài: 150 phút.Câu 1:a) Giải phương trình: \(\frac{x^2}{x-1}+\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x-1}}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{x^2}{\sqrt{x-1}}\)b) Giải hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y^2}+2\sqrt{x^2+1}+y^2=3\\x+\frac{y}{\sqrt{1+x^2}+x}+y^2=0\end{cases}}\)Câu 2:a) Tìm tất cả các số nguyên dương m,n sao cho \(2^n+n=m!\)b) Cho số tự nhiên \(n\ge2\).Biết rằng với mỗi...
Đọc tiếp

Đề thi tham khảo chuyên toán vào 10. Thời gian làm bài: 150 phút.

Câu 1:

a) Giải phương trình: \(\frac{x^2}{x-1}+\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x-1}}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{x^2}{\sqrt{x-1}}\)

b) Giải hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y^2}+2\sqrt{x^2+1}+y^2=3\\x+\frac{y}{\sqrt{1+x^2}+x}+y^2=0\end{cases}}\)

Câu 2:

a) Tìm tất cả các số nguyên dương m,n sao cho \(2^n+n=m!\)

b) Cho số tự nhiên \(n\ge2\).Biết rằng với mỗi số tự nhiên \(k\le\sqrt{\frac{n}{3}}\)thì \(k^2+k+n\)là một số nguyên tố. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên \(k\le n-2\)thì \(k^2+k+n\)là một số nguyên tố.

Câu 3: 

a) Cho \(x\le y\le z\)thỏa mã điểu kiện\(xy+yz+zx=k\)với k là một số nguyên dương lớn hơn 1.

Hỏi bất đẳng thức sau đây đúng hay không: \(xy^2z^3< k+1?\)

b) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(abc\le1\). Chứng minh rằng:

\(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{ab\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{bc\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{ca\left(c+a\right)}}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)

Câu 4: Cho đường tròn (O) có đường kính BC, A là điểm nằm ngoài đường tròn (O) sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. AB cắt đường tròn (O) tại F, AC đường tròn (O) tại E. Gọi H là trực tâm tam giác ABC, N là trung điểm AH, AH cắt BC tại D, NB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M. Gọi K, L lần lượt là giao điểm AH với ME và MC.

a) Chứng minh: E, L, F thẳng hàng 

b) Vẽ đường tròn (OQX) cắt OE tại Y với X,I,Q là giao điểm của đường thẳng qua H song song với ME và OF, NF,MC. Trên tia QY lấy điểm T sao cho QT=MK. Kẻ HT cắt NS tại J. Chứng minh tứ giác NJIH nội tiếp.

Câu 5: Cho m và n là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh tồn tại hai số nguyên dương x,y không vượt quá \(\sqrt{m}\) sao cho \(n^2x^2-y^2\)chia hết cho m.

Hết!

 

2
20 tháng 4 2019

Đây là đề của trường nào vậy bạn?

21 tháng 4 2019

Đề khó vcl ...