Question

[Bảo Bối Thần Kỳ]

Chứng minh rằng : a⁵- a chia hết cho 10

Answer 1

[Vũ Tiến Manh]

\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2+1\right)\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right);\)

(a-1)a là 2 số liên tiếp nên luôn có 1 só chia hết cho 2 ==>a⁵ -a chia hết cho 2

giờ ta sẽ chứng minh a⁵ -a chia hết cho 5 với mọi a

với mọi a thì a sẽ có một trong các dạng sau a= 5k; a = 5k+1; a= 5k+2; a = 5k -1; a = 5k -2

với a =5k thì dễ thấy a⁵ -a chia hết cho 5

a = 5k-1 thì a +1 =5k => (a-1)a(a+1)(a² +1) chia hết cho 5

a= 5k+1 thì a-1=5k =>(a-1)a(a+1)(a² +1) chia hết cho 5

a= 5k -2 => a² +1 = 25k² -20k +5 = 5(5k² -4k +1) =>(a-1)a(a+1)(a² +1) chia hết cho 5

a=5k+2 => a² +1 = 5(5k²+4k+1) => (a-1)a(a+1)(a² +1) chia hết cho 5

Vậy với mọi a đều chia hết cho 5

=> với mọi a đều chia hết cho cả 2 và 5 hay chia hết cho 10