Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}\frac{4}{a+b}+\frac{1}{2}\frac{4}{b+c}+\frac{1}{2}\frac{4}{c+a}\)
\(=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
xét a=0 ta có:\(\frac{0^2+0+1}{0^2+0+1}=1>0\)
xét a dương ta thấy cả tử và mẫu đều có số hạng giống nhau
=>\(\frac{a^2+a+1}{a^2+a+1}=1>0\)
xét a âm ta thấy cả tử và mẫu đều có số hạng giống nhau
=>\(\frac{-a^2+-a+1}{-a^2+-a+1}=\frac{-1}{-1}=1>0\)
=>đẳng thức trên >0 với mọ a\(\in\)Z
=>a2+a+1
CM theo bdt co-si
Áp dụng bdt Co - si cho cặp số dương a2/c và c
Ta có: \(\frac{a^2}{c}+c\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c}.c}=2a\)(1)
CMTT: \(\frac{b^2}{a}+a\ge2b\)(2)
\(\frac{c^2}{b}+b\ge2c\)(3)
Từ (1); (2) và (3) cộng vế theo vế, ta có:
\(\frac{a^2}{c}+c+\frac{b^2}{a}+a+\frac{c^2}{b}+b\ge2a+2b+2c\)
<=> \(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c\)(Đpcm)
\(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
\(\left(a^2-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4-2a^2+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4+1\ge2a^2\)
\(\Leftrightarrow1.\left(a^4+1\right)\ge2a^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{a^2}{a^4+1}\) (đpcm)
\(\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^4+1\ge2a^2\) (1)
Mà theo BĐT Cauchy có
\(a^4+1\ge2\sqrt{a^4}\)
\(\Leftrightarrow a^4+1\ge2a^2\)
Suy ra BĐT (1) luôn đúng
suy ra đề bài luôn đúng
c) Theo câu b ta có
\(\frac{OE}{AB}=\frac{OG}{AB}\Rightarrow OE=OG\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{OE}=\frac{1}{OG}\) (1)
Theo a ta lại có:
\(\frac{EO}{AB}=\frac{EG}{2AB}\Rightarrow\frac{EG}{AB}=\frac{2EO}{AB}\)
Mà \(\frac{EO}{CD}=\frac{OA}{CA}=\frac{EG}{2CD}\Rightarrow\frac{EG}{CD}=2\frac{EO}{CD}\)
\(\Rightarrow\frac{EG}{AB}+\frac{MN}{CD}=2\left(\frac{EO}{AB}+\frac{EO}{CD}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{EG}=\frac{2}{2OG}=\frac{1}{OG}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra điều phải cm.