![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Có a2 - 1 = (a+1)(a-1)
Xét tích (a-1)a(a+1) chia hết cho 3
Do a là số ng tố > 3 nên a không chia hết cho 3
=> (a-1)(a+1) chia hết cho 3 (1)
Có a là số lẻ, đặt a = 2k + 1
Do vậy a2 - 1 = 4k(k+1)
Có k(k+1) luôn chia hết cho 2 => ak(k+1) chia hết cho 8 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a2 - 1 chia hết cho 24 ( vì (3;8) =1 )
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có :
\(a^5-a\)
\(=a\left(a^4+1\right)\)
\(=a\left[\left(a^2\right)^2+1^2\right]\)
\(=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\) chia hết cho 2 và 3
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-2^2+5\right)\)
\(=a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) chia hết cho 5
Mà (2, 3, 5) = 1 \(\Rightarrow a^5-a\) chia hết cho 2, 3 và 5
\(\Rightarrow a^5-a\) chia hết cho 30
\(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)
Cách khác:
Ta có: \(a^5-a\)
\(=a\left(a^4-1\right)\)
\(=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=\left(a-1\right)\cdot a\cdot\left(a+1\right)\cdot\left(a^2+1\right)\)
Vì a-1 và a là hai số tự nhiên liên tiếp nên \(\left(a-1\right)\cdot a⋮2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\cdot a\cdot\left(a+1\right)⋮2\)
mà \(\left(a-1\right)\cdot a\cdot\left(a+1\right)⋮3\)(Do a-1;a;a+1 là ba số tự nhiên liên tiếp)
nên \(\left(a-1\right)\cdot a\cdot\left(a+1\right)⋮6\)
hay \(a^5-a⋮6\)
mà \(a^5-a⋮5\)(Theo định lí Fermat nhỏ, ta có: Nếu \(a^p-a\) có p là số nguyên tố thì \(a^p-a⋮p\), 5 là số nguyên tố)
nên \(a^5-a⋮30\)(đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: (a^5-a)= a(a^4-1)
= a(a^2-1)(a^2+1)
= a(a-1)(a+1)(a^2+1)
= a(a-1)(a+1)(a^2-4+5)
= a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) + 5a(a-1)(a+1)
Do a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) là tích 5 số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 2,3,5 => chia hết cho 2.3.5=30
5a(a-1)(a+1) chia hết cho 2,3,5 => chia hết cho 2.3.5=30
=> a^5-a chia hết cho 30
=> (a^5-a)+(b^5-b)+(c^5-c) chia hết cho 30
Mà a+b+c chia hết cho 30
=> a^5+b^5+c^5 chia hết cho 30
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a5 - a = a( a4 + 1)
= a[ ( a2)2 + 12 ]
= n ( n2 - 1)( n2 + 1)
= n( n - 1)( n + 1) ( n2 + 1) : hết cho 2 và 3
= n( n - 1)( n + 1) ( n2 - 22 + 5)
= n( n - 1)( n + 1)( n - 2) ( n + 2) + 5( n - 1)( n + 1)n : hết cho 5
mà ( 2 ; 3 ; 5) = 1 => a5 - a : hết cho 2 . 3 .5
a5-a=a(a4-1)=a(a2-1)(a2+1)=a(a-1)(a+1)(a2-4+5)=a(a-1)(a+1)(a2-4)+5a(a-1)(a+1)
=a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)
Do a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 2;1 số chie hết cho 3 và 1 số chia hết cho 5
=>a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) chia hết cho 30
a(a-1)(a+1) chia hết cho 6 do là tích 3 số nguyên liên tiếp
=>5a(a-1)(a+1) chia hết cho 30
=>a(a-1)(a+1)(a2-4)+5a(a-1)(a+1) chia hết cho 30
=>đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
Vì \(a-2,a-1,a,a+1,a+2\) là 5 số nguyên liên tiếp nên h của chúng chia hết cho 5 và chia hết cho 2
\(=>a^5-a⋮5\)(1)
Mà a-1 và a+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên h chúng chia hết cho 2
\(a^5-a⋮2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(a^5-a⋮30\)
Tương tự ta có : \(b^5-b⋮30;c^5-c⋮30\)
\(=>a^5+b^5+c^5-\left(a+b+c\right)⋮30\)
Mà \(a+b+c=2020⋮30\) nên \(a^5+b^5+c^5⋮30\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Có \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5\text{a}\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
Có a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) là 5 số tự nhiên liên tiếp => có 1 số chia hết cho 5, 1 số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho 2 => chia hết cho 30
a(a-1)(a+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp => có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3 => 5a(a-1)(a+1) chia hết cho 30
vậy tổng của chúng chia hết cho 30
=> đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
Trước hết, \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 (1)
Lại có \(a^5=a^{4.1}.a\)
TH1 : a chẵn, coi chữ số tận cùng của a là n \(\Rightarrow a^5=a^{4.1}.a=\left(...6\right).n=\left(...n\right)\)(Vì 6 nhân với chữ số chẵn nào cũng có tận cùng là chữ số đó )
TH2 : a lẻ, coi chữ số tận cùng của a là m \(\Rightarrow a^5=a^{4.1}.a=\left(...1\right).m=\left(...m\right)\)
Do đó \(a^5\)và \(a\)luôn có cùng chữ số tận cùng
\(\Rightarrow a^5-a\)chia hết cho 10 (2)
Từ (1)(2)\(\Rightarrow a^5-a\in BC\left(3;10\right)=B\left(30\right)\) ( Vì ƯCLN(3;10)=1 )
Vậy ...
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) a, Chứng minh a^5-a chia hết cho 5
b, Chứng minh a^7-a chia hết cho 7
Đề bài phải có điều kiện a là số nguyên hay số tự nhiên...gì đó chứ bạn!?
\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
Dễ thấy \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp
=>\(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\) chia hết cho 2 và 3
<=> \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\) chia hết cho 2 và 3 (1)
Xét các trường hợp:
+) a=5k => \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)=\left(5k-1\right)5k\left(5k+1\right)\left[\left(5k\right)^2+1\right]⋮5\) (\(k\in Z\))
+) a=5k+1 => (a-1)a(a+1)(a2+1)=(5k+1-1)(5k+1)(5k+1+1)[(5k+1)2+1]=5k(5k+1)(5k+2)[(5k+1)2+1]\(⋮5\)
+) a=5k+2 => (a-1)a(a+1)(a2+1)=(5k+2-1)(5k+2)(5k+2+1)[(5k+2)2+1]=(5k+1)(5k+2)(5k+3)(25k2+20k+5)\(⋮5\)
+) a=5k+3 => (a-1)a(a+1)(a2+1)=(5k+3-1)(5k+3)(5k+3+1)[(5k+3)2+1]=(5k+2)(5k+3)(5k+4)(25k2+30k+10)\(⋮5\)
+) a=5k+4 => (a-1)a(a+1)(a2+1)=(5k+4-1)(5k+4)(5k+4+1)[(5k+4)2+1]=(5k+3)(5k+4)(5k+5)[(5k+4)2+1]\(⋮5\)
=>\(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\) chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
khổ quá ko có bạn ạ, nếu có mình đã ko hỏi