![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Tất cả các câu này đều có thể chứng minh bằng phép biến đổi tương đương:
a.
\(\Leftrightarrow a^{10}+b^{10}+a^4b^6+a^6b^4\le2a^{10}+2b^{10}\)
\(\Leftrightarrow a^{10}-a^6b^4+b^{10}-a^4b^6\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^6\left(a^4-b^4\right)-b^6\left(a^4-b^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^6-b^6\right)\left(a^4-b^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
b.
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a^2}{4}+b^2+c^2-ab+ac-2bc\right)+b^2-2b+1+c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{2}-b+c\right)^2+\left(b-1\right)^2+c^2\ge0\) (luôn đúng)
c.
\(\Leftrightarrow a^2+4b^2+4c^2-4ab-8bc+4ac\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b+2c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
d.
\(\Leftrightarrow4a^4-8a^3+4a^2+a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a^2-2a\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1. \(x^3-x+\frac{1}{2}=x^4-x^2+\frac{1}{4}+x^2-x+\frac{1}{4}=\left(x^2-\frac{1}{2}\right)^2+\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
Nếu \(\left(x^2-\frac{1}{2}\right)^2+\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0\)thì \(\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{2}=0\\x^2-\frac{1}{2}=0\end{cases}=>\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\x^2=\frac{1}{2}\end{cases}}}\)(VÔ LÍ)
Vậy \(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(A=a^4+2a^3+5a^2+4a+4\\ A=\left(a^4+a^3+a^2\right)+\left(a^3+a^2+a\right)+\left(3a^2+3a+3\right)+1\\ A=a^2\left(a^2+a+1\right)+a\left(a^2+a+1\right)+3\left(a^2+a+1\right)+1\\ A=\left(a^2+a+3\right)\left(a^2+a+1\right)+1\\ A=x\left(x+2\right)+1=x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a. Ta có: a > b
4a > 4b ( nhân cả 2 vế cho 4)
4a - 3 > 4b - 3 (cộng cả 2 vế cho -3)
b. Ta có: a > b
-2a < -2b ( nhân cả 2 vế cho -2)
1 - 2a < 1 - 2b (cộng cả 2 vế cho 1)
d. Ta có: a < b
-2a > -2b ( nhân cả 2 vế cho -2)
5 - 2a > 5 - 2b (cộng cả 2 vế cho 5)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có:
\(VT=\left[\dfrac{16a-a^2-\left(3+2a\right)\left(a+2\right)-\left(2-3a\right)\left(a-2\right)}{\left(a-2\right)\left(a+2\right)}\right]:\dfrac{a-1}{a^3+4a^2+4a}\)
\(=\dfrac{16a-a^2-3a-6-2a^2-4a-2a+4+3a^2-6a}{\left(a-2\right)\left(a+2\right)}.\dfrac{a\left(a+2\right)^2}{a-1}\)
\(=\dfrac{a-2}{\left(a-2\right)\left(a+2\right)}.\dfrac{a\left(a+2\right)^2}{a-1}=\dfrac{a\left(a+2\right)}{a-1}\left(a\ne\pm2;a\ne1\right)\)
\(=a-\dfrac{a\left(a+2\right)}{a-1}=\dfrac{a^2-a-a^2-2a}{-1}=\dfrac{-3a}{a-1}=\dfrac{3a}{1-a}=VP\left(đpcm\right)\)
\(4a^4+5a^2\ge8a^3+2a-1\)
\(\Leftrightarrow4a^4+5a^2-8a^3-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(4a^4-8a^3+4a^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a^2-2a\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)
\("="\Leftrightarrow a=1\)
Cảm ơn bạn rất nhiều