Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)
\(\sqrt{\frac{a}{a+bc}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+abc}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Tương tự \(\sqrt{\frac{b}{b+ca}}=\frac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}};\sqrt{\frac{c}{c+ab}}=\frac{c}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
\(\Rightarrow VT=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(\le\frac{a}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{b}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a}\right)+\frac{c}{2}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}\right)\)
\(=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=3\)
Để ý, ta thấy: \(ab+bc+ca-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=-\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{6}\le0\)
do đó từ giả thiết, ta suy ra \(ab+bc+ca\le3\). Như vậy:
\(\frac{ab}{\sqrt{c^3+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM . Ta có:
\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Thiết lập hai BĐT tương tự và cộng lại, ta suy ra dãy đánh giá sau:
\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{1}{2}\left[\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{b+c}\right)+\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}\right)+\left(\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\right]\)
\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{a+b+c}{2}\)
Từ đó với lưu ý: a + b + c = 3 . Ta suy ra ĐPCM
Theo đề ra ta có :
\(ab+bc+ca-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=-\left[\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{6}\right]\le0\)
và : \(ab+bc+ca\le3\)
Suy ra : \(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta được :
\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Thiết lập 2 đẳng thức tương tự, cộng về theo về, ta có :
\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{1}{2}\left[\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{c+a}\right)+\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}\right)+\left(\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\right]\)
và : \(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{a+b+c}{2}\)
Mà : \(a+b+c=3\)( theo đề bài ) , suy ra đpcm
ở dòng thứ 3 qua dòng thứ 4 bạn sai nhé. đáng lẽ là \(\ge\)
\(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;c^2+a^2\ge2ca.\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\frac{3^2}{3}=3\)
Khi đó \(c^2+3\ge c^2+ab+bc+ca=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\Leftrightarrow\sqrt{c^2+3}\ge\sqrt{b+c}\sqrt{a+c}\)
\(a^2+3\ge a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\Leftrightarrow\sqrt{a^2+c}\ge\sqrt{\left(a+b\right)}\sqrt{a+c}\)
\(b^2+3\ge b^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\Leftrightarrow\sqrt{b^2+3}\ge\sqrt{a+b}\sqrt{b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{b+c}\sqrt{a+c}}+\frac{bc}{\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}}+\frac{ca}{\sqrt{a+b}\sqrt{b+c}}\)*
áp dụng bđt Cauchy ngược dấu
\(\sqrt{\frac{1}{a+b}}.\sqrt{\frac{1}{a+c}}\le\frac{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}}{2}\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}}\le\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2bc}{\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}}\le\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\)
Chứng minh tương tự \(\frac{2ab}{\sqrt{a+c}\sqrt{b+c}}\le\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\)
\(\frac{2ca}{\sqrt{b+c}\sqrt{a+b}}\le\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{a+b}\)
Kết hợp với * ta có
\(\frac{2ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{2bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{2ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\right)=\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ca}{b+c}=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}.\)
nhầm xíu dòng thứ 2 từ dưới lên
\(2\left(...\right)\ge\frac{ab}{..}...\)=...
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z\ge1\)
\(P=\sqrt{x^2+2y^2}+\sqrt{y^2+2z^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(y+2z\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(z+2x\right)^2}{3}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(3x+3y+3z\right)\ge\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=c=3\)
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Phạm Vũ Trí Dũng - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
Tự chứng minh \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\le a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\le9\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le3\)
\(\Rightarrow\sqrt{c^2+3}\ge\sqrt{c^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab}}\le\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}\right)\)
Đến đây dễ rồi để YẾN tự làm