Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:\(M=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)-2xyz\)
\(=\left(x^2+xz+xy+yz\right)\left(y+z\right)-2xyz\)
\(=x^2y+x^2z+xyz+xz^2+xy^2+xyz+y^2z+yz^2-2xyz\)
\(=x^2y+x^2z+xz^2+xy^2+y^2z+yz^2\)
\(=\left(x^2y+xy^2+xyz\right)+\left(y^2z+yz^2+xyz\right)+\left(z^2x+zx^2+xyz\right)-3xyz\)
\(=xy\left(x+y+z\right)+yz\left(x+y+z\right)+xz\left(x+y+z\right)-3xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)-3xyz\)
Vì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)⋮6\)
Giả sử:Trg 3 số x,y,z không tồn tại số nào chẵn
=> x+y+z lẻ mà 1 số lẻ không chia hết cho 6 nên điều g/s sai
=> tồn tại ít nất 1 trong 3 số x,y,z chẵn
Giả sử: x chẵn
=> x chia hết cho 2 => 3xyz chia hết cho 6
=> đpcm
Sửa đề: \(P=x^{2008}+y^{2009}+z^{2010}\)
Ta có: x+y+z=1
nên \(\left(x+y+z\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=1\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+1=1\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)
mà 3>0
nên \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\x+z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\x=-z\end{matrix}\right.\)
Thay x=-y vào biểu thức \(x+y+z=1\), ta được:
\(-y+y+z=1\)
hay z=1
Thay x=-y và z=1 vào biểu thức \(x^2+y^2+z^2=1\), ta được:
\(\left(-y\right)^2+y^2+1=1\)
\(\Leftrightarrow y^2+y^2=0\)
\(\Leftrightarrow2y^2=0\)
hay y=0
Vì x=-y
và y=0
nên x=0
Thay x=0; y=0 và z=1 vào biểu thức \(P=x^{2008}+y^{2009}+z^{2010}\), ta được:
\(P=0^{2008}+0^{2009}+1^{2010}=1\)
Vậy: P=1
nma ở trên cm y=-z mà. Nếu ở thay y=0 và z=1 vào thì nghĩa là 0 = -1 hả
Ta có các nhận xét:
a2≡1(mod3)∨a2≡0(mod3)(1)a2≡1(mod3)∨a2≡0(mod3)(1)
a2≡1(mod4)∨a2≡0(mod4)(2)a2≡1(mod4)∨a2≡0(mod4)(2)
a)Giả sử trong x;y;z không có số nào chia hết cho 3.
Từ (1) nên ta có x2≡y2≡1(mod3)x2≡y2≡1(mod3)
Nên z2≡1+1≡2(mod3)z2≡1+1≡2(mod3): vô lý nên ta có đpcm.
Ta có các nhận xét:
a2≡1(mod3)∨a2≡0(mod3)(1)a2≡1(mod3)∨a2≡0(mod3)(1)
a2≡1(mod4)∨a2≡0(mod4)(2)a2≡1(mod4)∨a2≡0(mod4)(2)
a)Giả sử trong x;y;z không có số nào chia hết cho 3.
Từ (1) nên ta có x2≡y2≡1(mod3)x2≡y2≡1(mod3)
Nên z2≡1+1≡2(mod3)z2≡1+1≡2(mod3): vô lý nên ta có đpcm.
Từ \(x\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+y\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)+z\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=-2\) ta có:
\(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+2xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\).
Không mất tính tổng quát, giả sử x + y = 0
\(\Leftrightarrow x=-y\)
\(\Leftrightarrow x^3=-y^3\).
Kết hợp với \(x^3+y^3+z^3=1\) ta có \(z^3=1\Leftrightarrow z=1\).
Vậy \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{-y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{1}=1\).
Ta có: \(x^3-x=\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\)
Tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 nên \(\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮3\)
hay \(x^3-x⋮3\)
Tương tự \(y^3-y⋮3\);\(z^3-z⋮3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3-\left(x+y+z\right)⋮3\)
Mà \(\left(x+y+z\right)⋮3\left(gt\right)\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮3\left(đpcm\right)\)