Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cauchy - Schwarz dạng Engel :
\(\frac{1}{x^2+2xy}+\frac{1}{y^2+2yz}+\frac{1}{z^2+2zx}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z = 1/3
Áp dụng bđt Svac ta có:
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)
Áp Dụng BĐT svacxơ, ta có
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\left(ĐPCM\right)\)
^_^
Đặt a = \(x^2+2yz\); b = \(y^2+2xz\); c = \(z^2+2xy\)
\(\Rightarrow\)\(a,b,c>0\)và \(a+b+c=\left(x=y+z\right)^2=1\)
+) C/m : \(\left(a=b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)
Hay \(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge9\)
\(\Rightarrow\)ĐPCM
hên xui thôi -_-
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz dạng engel,ta có:
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)
\(\Rightarrowđpcm\)
áp dụng bđt bunhia dạng phân thức ta có
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\)≥\(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}\) =\(\frac{3^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)=\(\frac{9}{1^2}\) =9
(đpcm) vậy dấu =xảy ra khi x=y=z=\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x=y=z\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}}\)
Đẳng thức đã cho tương đương với:
\(\dfrac{x^2z+y^2z-z^3+y^2x+z^2x-x^3+z^2y+x^2y-y^3}{2yxz}=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+2xyz-x^2y-y^2z-z^2x-xy^2-yz^2-zx^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)=0\Leftrightarrow z+x=y\) (Do x + y khác z và y + z khác x).
Từ đó P = 2y (Biểu thức của P phụ thuộc vào biến y).
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)