K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

21 tháng 12 2018

\(A=\sqrt{x^3+8}+\sqrt{y^3+8}+\sqrt{z^3+8}\)

\(A=\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}+\sqrt{\left(y+2\right)\left(y^2-2x+4\right)}+\sqrt{\left(z+2\right)\left(z^2-2z+4\right)}\)

\(\sqrt{\frac{1}{2}}A=\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right).\frac{1}{2}}+\sqrt{\left(y+2\right)\left(y^2-2x+4\right).\frac{1}{2}}+\sqrt{\left(z+2\right)\left(z^2-2z+4\right).\frac{1}{2}}\)\(\sqrt{\frac{1}{2}}A=\sqrt{\left(x+2\right)\left(\frac{x^2}{2}-x+2\right)}+\sqrt{\left(y+2\right)\left(\frac{y^2}{2}-x+2\right)}+\sqrt{\left(z+2\right)\left(\frac{z^2}{2}-z+2\right)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(\sqrt{\frac{1}{2}}A\le\frac{x+2+\frac{x^2}{2}-x+2+y+2+\frac{y^2}{2}-y+2+z+2+\frac{z^2}{2}-z+2}{2}=\frac{12+\frac{x^2+y^2+z^2}{2}}{2}=\frac{12+\frac{48}{2}}{2}=\frac{12+24}{2}=\frac{36}{2}=18\)

\(\Leftrightarrow A\le18:\sqrt{\frac{1}{2}}=18\sqrt{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2=\frac{x^2}{2}-x+2\\y+2=\frac{y^2}{2}-y+2\\z+2=\frac{z^2}{2}-z+2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=4x\\y^2=4y\\z^2=4z\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\left(x-4\right)=0\\y\left(y-4\right)=0\\z\left(z-4\right)=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=4\\z=4\end{cases}\left(v\text{ì}x,y,z>0\right)}}\)

Vậy \(A_{max}=18\sqrt{2}\Leftrightarrow x=y=z=4\)

Tham khảo nhé~

19 tháng 5 2018

GTLN hay GTNN bạn ơi ;(

19 tháng 5 2018

GTNN bạn

6 tháng 10 2018

\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge xy+yz+zx\Rightarrow x+y+z\ge3\)

\(P=\frac{x^2}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{\left(y+2\right)\left(y^2-2y+4\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{\left(z+2\right)\left(z^2-2z+4\right)}}\) 

\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}+\sqrt{\left(y+2\right)\left(y^2-2y+4\right)}+\sqrt{\left(z+2\right)\left(z^2-2z+4\right)}}\)  

\(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+2+x^2-2x+4\right)+\left(y+2+y^2-2y+4\right)+\left(z+2+z^2-2z+4\right)}\) 

\(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)+18}=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)-2\left(xy+yz+zx\right)+18}=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-\left(x+y+z\right)+12}\)

Dự đoán Min P=1 khi x+y+z=3

Đặt \(t=x+y+z\ge3\) 

\(\Rightarrow P\ge\frac{2t^2}{t^2-t+12}\Rightarrow P-1\ge\frac{t^2+t-12}{t^2-t+12}=\frac{\left(t-3\right)\left(t+4\right)}{t^2-t+12}\ge0\) 

\(\Rightarrow P\ge1\)

8 tháng 10 2018

bạn là một thiên tài

2 tháng 9 2021

Mình chia thành 2 phần lời giải để thuận tiện trong việc quan sát nhé!

a. \(a+b+c=2\sqrt{a}+2\sqrt{b-3}+2\sqrt{c}\left(ĐK:a\ne0;b\ne3;c\ne0\right)\\ \Leftrightarrow a-2\sqrt{a}+1+b-3-2\sqrt{b-3}+1+c-2\sqrt{c}+1=0\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-1\right)^2+\left(\sqrt{b-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{c}-1\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=4\\c=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(a;b;c\right)=\left(1;4;1\right)\)

2 tháng 9 2021

b. \(x+y+z+8=2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-2}+6\sqrt{z-3}\left(ĐK:x\ne1;y\ne2;z\ne3\right)\\ x-1-2\sqrt{x-1}+1+y-2-4\sqrt{y-2}+4+z-3-6\sqrt{y-3}+9=0\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\\z=6\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(2;4;6\right)\)

P/s: Trước khi kết luận, kiểm tra lại điều kiện thấy thỏa mãn rồi nên mình kết luận luôn nhé. Còn trong bài làm bạn nên ghi kết quả kiểm tra điều kiện cạnh giá trị mới tìm được nhé.

2 tháng 7 2017

1, A= y^3(1-y)^2 = 4/9 . y^3 . 9/4 (1-y)^2

= 4/9 .y.y.y . (3/2-3/2.y)^2

=4/9 .y.y.y (3/2-3/2.y)(3/2-3/2.y)

<= 4/9 (y+y+y+3/2-3/2.y+3/2-3/2.y)^5

=4/9 . 243/3125

=108/3125

Đến đó tự giải

2 tháng 7 2017


Thử sức với bài 1 xem thế nào :vv
x>0 => 0<x<=1 
f(x)=x^2(1-x)^3
Xét f'(x) = -(x-1)^2x(5x-2) 
Xét f'(x)=0 -> nhận x=2/5 và x=1thỏa mãn đk trên .
 Thử x=1 và x=2/5 nhận x=2/5 hàm số Max tại ddk 0<x<=1 (vậy x=1 loại)
P/s: HS cấp II hong nên làm cách này nhé em :vv 
 

6 tháng 2 2020

 Đoạn cuối của cô Nguyễn Linh Chi em có 1 cách biến đổi tương đương cũng khá ngắn gọn ạ

\(RHS\ge2\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)

Theo đánh giá của cô Nguyễn Linh Chi thì \(xy+yz+zx\ge x+y+z\ge3\)

Ta cần chứng minh:\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\ge\frac{1}{2}\)

Thật vậy,BĐT tương đương với:

\(2\left(x+y+z\right)^2\ge x^2+y^2+z^2-x-y-z+18\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+x+y+z-12\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z+4\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\) ( luôn đúng với \(x+y+z\ge3\) )

=> đpcm

6 tháng 2 2020

Áp dụng: \(AB\le\frac{\left(A+B\right)^2}{4}\)với mọi A, B

Ta có:

\(x^3+8=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)\le\frac{\left(x+2+x^2-2x+4\right)^2}{4}\)

=> \(\sqrt{x^3+8}\le\frac{x^2-x+6}{2}\)

=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}\)

Tương tự 

=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\)

\(\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}+\frac{2y^2}{y^2-y+6}+\frac{2z^2}{z^2-z+6}\)

\(=2\left(\frac{x^2}{x^2-x+6}+\frac{y^2}{y^2-y+6}+\frac{z^2}{z^2-z+6}\right)\)

\(\ge2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2-x+6+y^2-y+6+z^2-z+6}\)

\(=2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)(1)

Ta có: \(x+y+z\le xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) với mọi x, y, z 

=> \(\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)\ge0\)

=> \(\left(x+y+z\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\)

=> \(x+y+z\ge3\)với mọi x, y, z dương

Và \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)\)

Do đó: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)+18}\)

Đặt: x + y + z = t ( t\(\ge3\))

Xét hiệu: \(\frac{t^2}{t^2-3t+18}-\frac{1}{2}=\frac{t^2+3t-18}{t^2-3t+18}=\frac{\left(t-3\right)\left(t+6\right)}{\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{63}{4}}\ge0\)với mọi t \(\ge3\)

Do đó: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)+18}\ge\frac{1}{2}\)(2)

Từ (1); (2) 

=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge2.\frac{1}{2}=1\)

Dấu "=" xảy ra <=> x= y = z = 1

6 tháng 12 2016

ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x\ge1\\y\ge2\\z\ge3\end{cases}}\)

Với điều kiện trên thì pt đã cho tương đương với : 

\(\left[\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1\right]+\left[\left(y-2\right)-4\sqrt{y-2}+4\right]+\left[\left(z-3\right)-6\sqrt{z-3}+9\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2=0\)

Mà \(\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2\ge0,\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2\ge0,\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2\ge0\)

Vậy đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2=0\\\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\\z=12\end{cases}}\) (tmđk)

ĐKXĐ : {

x≥1
y≥2
z≥3

Với điều kiện trên thì pt đã cho tương đương với : 

[(x−1)−2√x−1+1]+[(y−2)−4√y−2+4]+[(z−3)−6√z−3+9]=0

⇔(√x−1−1)2+(√y−2−2)2+(√z−3−3)2=0

Mà (√x−1−1)2≥0,(√y−2−2)2≥0,(√z−3−3)2≥0

⇒(√x−1−1)2+(√y−2−2)2+(√z−3−3)2≥0

Vậy đẳng thức xảy ra khi {

(√x−1−1)2=0
(√y−2−2)2=0
(√z−3−3)2=0
13 tháng 6 2017

Sai đề kìa \(x+y+z+8=2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-2}+6\sqrt{z-3}\)

\(\Leftrightarrow x+y+z+8-2\sqrt{x-1}-4\sqrt{y-2}-6\sqrt{z-3}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x-1}+1-1\right)+\left(y-4\sqrt{y-2}+4-2\right)+\left(z-6\sqrt{z-3}+9-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}-1=0\\\sqrt{y-2}-2=0\\\sqrt{z-3}-3=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{y-2}=2\\\sqrt{z-3}=3\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\\z=12\end{cases}}\)

Sai đề kìa x+y+z+8=2√x−1+4√y−2+6√z−3

⇔x+y+z+8−2√x−1−4√y−2−6√z−3=0

⇔(x−2√x−1+1−1)+(y−4√y−2+4−2)+(z−6√z−3+9−3)=0

⇔(√x−1−1)2+(√y−2−2)2+(√z−3−3)2=0

⇒{

√x−1−1=0
√y−2−2=0
√z−3−3=0

⇒{

√x−1=1
√y−2=2
√z−3=3
11 tháng 6 2019

\(x+y+z+8=2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-2}+6\sqrt{z-3}\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1\)\(+\left(y-2\right)-4\sqrt{y-2}+4\)\(+\left(z-3\right)-6\sqrt{z-3}+9\)\(=0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}-1=0\\\sqrt{y-2}-2=0\\\sqrt{z-3}-3=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{y-2}=2\\\sqrt{z-3}=3\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\\z=12\end{cases}}}\)

11 tháng 6 2019

\(x+y+z+8=2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-2}+6\sqrt{z-3}\)

\(\left(x-1-2\sqrt{x-1}+1\right)+\left(y-2-2\sqrt{y-2}.2+4\right)+\left(z-3-2\sqrt{z-3}.3+9\right)=0\)

\(\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2=0\)( 1 )

Mà \(\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2\ge0\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2=\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2=\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2=0\)

từ đó tìm được : \(x=2;y=6;z=12\)

\(x+y+z+8=2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-2}+6\sqrt{z-3}\)

\(\Leftrightarrow x+y+z+8-2\sqrt{x-1}-4\sqrt{y-2}-6\sqrt{z-3}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1\right]+\left[\left(y-2\right)-4\sqrt{y-2}+4\right]+\left[\left(z-3\right)-6\sqrt{z-3}+9\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}-1=0\\\sqrt{y-2}-2=0\\\sqrt{z-3}-3=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{y-2}=2\\\sqrt{z-3}=3\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\\z=12\end{cases}}\)

DD
12 tháng 7 2021

ĐK: \(x\ge1,y\ge2,z\ge3\).

\(x+y+z+8=2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-2}+6\sqrt{z-3}\)

\(\Leftrightarrow x-1-2\sqrt{x-1}+1+y-2-4\sqrt{y-2}+4+z-3-6\sqrt{z-3}+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}-1=0\\\sqrt{y-2}-2=0\\\sqrt{z-3}-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\\z=12\end{cases}}\)(thỏa mãn)