K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NM
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 4 2022
\(\left(x^2+9\right)+\left(y^2+9\right)+3\left(x^2+y^2\right)\ge6x+6y+6xy=90\)
\(\Rightarrow4\left(x^2+y^2\right)+18\ge90\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge18\)
\(P_{min}=18\) khi \(x=y=3\)
\(x+y+xy=15\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le15\\y\le15\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(x-15\right)\le0\\y\left(y-15\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\le15x+15y\) (1)
Cũng từ đó ta có: \(\left(x-15\right)\left(y-15\right)\ge0\Rightarrow xy\ge15x+15y-225\)
\(\Rightarrow16x+16y-225\le x+y+xy=15\)
\(\Rightarrow x+y\le15\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow x^2+y^2\le15.15=225\)
\(P_{max}=225\) khi \(\left(x;y\right)=\left(0;15\right);\left(15;0\right)\)
DL
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 9 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$A\geq \frac{9}{x+2+y+2+z+2}=\frac{9}{x+y+z+6}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(x^2+y^2+z^2)(1+1+1)\geq (x+y+z)^2$
$\Rightarrow 9\geq (x+y+z)^2\Rightarrow x+y+z\leq 3$
$\Rightarrow A\geq \frac{9}{x+y+z+6}\geq \frac{9}{3+6}=1$
Vậy $A_{\min}=1$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
LL
0
CM
15 tháng 3 2018
Ta có: 2 x 2 + 1 2 ≥ 2 x ; 2 y 2 + 1 2 ≥ 2 y và x 2 + y 2 ≥ 2 x y
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được:
3 x 2 + y 2 + 1 ≥ 2 x + y + x y = 5 2
=> A = x 2 + y 2 ≥ 1 2
Từ đó tìm được A m i n = 1 2 <=> x = y = 1 2
TC
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 4 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^2+2^2\geq 4x$
$4y^2+1\geq 4y$
$\Rightarrow x^2+4y^2+5\geq 4(x+y)$
$\Rightarrow P=x^2+4y^2+4xy\geq 4(x+y)-5+4xy=4(x+y+xy)-5=4.\frac{7}{2}-5=9$
Vậy $P_{\min}=9$. Giá trị này đạt tại $x=2; y=\frac{1}{2}$
4 tháng 8 2021
\(2\left(x+y\right)+xy=x^2+y^2\\ \Leftrightarrow x^2+y^2-2x-2y-xy=0\\ \Leftrightarrow2x^2+2y^2-4x-4y-2xy=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-4y+4\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)=8\\ \Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(x-y\right)^2=8\)
\(\Leftrightarrow\begin{matrix}\left(x-2\right)^2=0;&\left(y-2\right)^2=4;&\left(x-y\right)^2=4\\\left(x-2\right)^2=4;&\left(y-2\right)^2=0;&\left(x-y\right)^2=4\\\left(x-2\right)^2=4;&\left(y-2\right)^2=4;&\left(x-y\right)^2=0\end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow\begin{matrix}x=2;&y=4\\x=2;&y=0\\x=4;&y=2\\x=0;&y=2\\x=0;&y=0\\x=2;&y=2\end{matrix}\)
Vậy có 6 cặp số thỏa mãn:
\(\left(x;y\right)\in\left\{\left(2;4\right);\left(2;0\right);\left(4;2\right);\left(0;2\right);\left(0;0\right);\left(2;2\right)\right\}\)
\(x+y+xy=15\)
\(\Leftrightarrow x+y+xy+1=16\)
\(\Leftrightarrow x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)=16\)
\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(x+1\right)=16\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)ta có :
\(\left(y+1\right)\left(x+1\right)\le\frac{\left(x+y+2\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)^2\ge4\left(x+1\right)\left(y+1\right)=64\)
\(\Leftrightarrow x+y+2\ge8\)
\(\Leftrightarrow x+y\ge6\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng engel :
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{6^2}{2}=18\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=3\)
@ Phương @
Bất đẳng thức AM-GM là cho hai số không âm.
Ở bài toán này (x+1), (y+1) không phải là hai số không âm . Nếu em muốn áp dụng thì phải nói rõ ra:
"Áp dụng bất đẳng thức:
\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)với mọi a, b"
Cm: \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) đúng với mọi a, b