TA
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 2 2020
\(\frac{x^2}{y^2}+1+\frac{y^2}{x^2}+1-2\ge\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}-2=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)-2\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\sqrt{\frac{xy}{xy}}-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
NK
2
4 tháng 2 2018
Bổ xung ĐK : x;y > 0
Cần chứng minh : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\)(đúng với x;y>0)
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right)\ge0\)(đúng vì \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\ge0\)theo cmt)
Vậy \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
4 tháng 2 2018
áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
x2/y2+1>=2x/y
y2/x2+1>=2y/x x/y+y/x>=2(1)
cộng cả hai vế ta có x2/y2+y2/x2 + 2>=2x/y+2y/x
kết hợp với (1)=>dpcm
G
27 tháng 3 2019
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4+y^4+4x^2y^2}{x^2y^2}\ge\frac{3x^3y+3y^3x}{x^2y^2}\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+4x^2y^2-3x^3y-3xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-2xy+y^2\right)+y^2\left(x^2-2xy+y^2\right)-x^3y-xy^3+2x^2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)-xy\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrowđpcm."="\Leftrightarrow x=y\)
DD
0
24 tháng 11 2018
Bạn có thể sử dụng BĐT thức Cô-si và xét trường hợp dấu bằng xảy ra nhé bạn !
5 tháng 4 2020
Câu hỏi của Trần Ngọc Tú - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
NH
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 8 2019
Lời giải:
BĐT đã cho tương đương với:
\((\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^2+2-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\geq 0\)
\(\Leftrightarrow t^2+2-3t\geq 0\Leftrightarrow (t-1)(t-2)\geq 0(*)\) ( $t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$)
Ta thấy: \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}\).
Nếu $xy>0$: \(t=\frac{(x-y)^2}{xy}+2\geq 2\)
\(\Rightarrow (t-1)(t-2)\geq 0\Rightarrow (*)\) đúng
Nếu $xy< 0$: \(t=\frac{(x+y)^2}{xy}-2\leq -2\)
\(\Rightarrow (t-1)(t-2)\geq 0\Rightarrow (*)\) đúng.
Vậy $(*)$ luôn đúng, ta có đpcm.
Do \(x>y>0\) nên \(x+y\ne0\).Theo tính chất cơ bản của phân thức ta có :
\(\frac{x-y}{x+y}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+y\right)}=\frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}\) \(\left(1\right).\)
Mặt khác , do \(x,y>0\) nên \(x^2+2xy+y^2>x^2+y^2\)
Vậy \(\frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\) \(\left(2\right).\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) \(\Rightarrow\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\).