K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

4 tháng 2 2018

Bổ xung ĐK : x;y > 0

Cần chứng minh : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\)(đúng với x;y>0)

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right)\ge0\)(đúng vì \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\ge0\)theo cmt)

Vậy \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

4 tháng 2 2018

áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

x2/y2+1>=2x/y

y2/x2+1>=2y/x                    x/y+y/x>=2(1)

cộng cả hai vế ta có x2/y2+y2/x+ 2>=2x/y+2y/x

kết hợp với (1)=>dpcm

NV
21 tháng 2 2020

\(\frac{x^2}{y^2}+1+\frac{y^2}{x^2}+1-2\ge\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}-2=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)-2\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\sqrt{\frac{xy}{xy}}-2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

NV
31 tháng 5 2020

\(\Leftrightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3-x^2y+y^3-xy^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng với x;y dương)

Vậy BĐT đã cho đúng

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

8 tháng 5 2019

Ta chứng minh 1 bổ đề sau: Với a;b lớn hơn hoặc bằng 1 thì \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)

Thật vậy: \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+2\right)\left(1+ab\right)\ge2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+a^3b+b^2+b^3a+2+2ab\ge2a^2+2b^2+2a^2b^2+2\)

\(\Leftrightarrow a^3b+b^3a+2ab-a^2-b^2-2a^2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng với a;b>=1)

Trở lại bđt trong bài: \(\frac{2019}{2019+x^2}+\frac{2019}{2019+y^2}\ge\frac{4038}{2019+xy}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2019+x^2}+\frac{1}{2019+y^2}\ge\frac{2}{2019+xy}\) bđt này tương tự với bđt vừa cm trong bài,với x;y là hoán vị của a;b và 2019 có vai trò như 1

AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 8 2019

Lời giải:

Xét hiệu:

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}-\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)+\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)-2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)

\(\ge \frac{1}{2}\left[\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)+3\sqrt[3]{\frac{x^2}{y^2}.\frac{y^2}{z^2}.\frac{z^2}{x^2}}-2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)+3-2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left[(\frac{x}{y}-1)^2+(\frac{y}{z}-1)^2+(\frac{z}{x}-1)^2\right]\geq 0\)

\(\Rightarrow \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$