NV
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 2 2019
Đặt \(\sqrt{x-2}=a\ge0\)
\(\Rightarrow ay^2-2y+a=0\)
\(\Delta'=1-a^2\ge0\Rightarrow\left|a\right|\le1\Rightarrow0\le a\le1\)
\(\Rightarrow\sqrt{x-2}\le1\Rightarrow x\le3\Rightarrow x^3\le27\)
KN
21 tháng 5 2020
Theo giả thiết: \(xyz=x+y+z+2\)
\(\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1\)\(=\left(xy+yz+zx\right)+2\left(x+y+z\right)+3\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+x+y+1\right)\left(z+1\right)\)\(=\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)\left(z+1\right)+\left(z+1\right)\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)\(=\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)\left(z+1\right)+\left(z+1\right)\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\). Đặt \(a=\frac{1}{x+1};b=\frac{1}{y+1};c=\frac{1}{z+1}\)
Khi đó a + b + c = 1 và \(x=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a}\);\(y=\frac{1-b}{b}=\frac{c+a}{b}\);\(z=\frac{1-c}{c}=\frac{a+b}{c}\)
Ta cần chứng minh \(x+y+z+6\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+6\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2-\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x+y+z+3\right)}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left[\left(x+1\right)+\left(y+1\right)+\left(z+1\right)\right]}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left[\left(b+c\right)+\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\right]\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}\)\(\ge\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\)
BĐT cuối hiển nhiên đúng vì đây là BĐT Bunyakovski do đó bài toán được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)hay x = y = z = 2
8 tháng 10 2017
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}+2\sqrt{z-2}=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-1-2\sqrt{y-1}+1\right)+\left(z-2-2\sqrt{z-2}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{y-1}-1=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\\\sqrt{z-2}-1=0\end{cases}}\)
8 tháng 10 2017
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{y-1}-1=0\Leftrightarrow\\\sqrt{z-2}-1=0\end{cases}\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}}\)
vậy \(S=x+y=1+2=3\)
VT
3 tháng 10 2019
Áp dụng bdt cosi-schwar cho 3 số (\(\left(am+bn+cp\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\left(m^2+n^2+p^2\right)\)
với a=x,b=y\(\sqrt{2}\);c=z\(\sqrt{5}\); m=\(\sqrt{11-2y^2},n=\sqrt{3-5z^2}\),\(p=\sqrt{2-x^2}\)
82\(\le\left(x^2+2y^2+5z^2\right)\left(11-2y^2+3-5z^2+1-x^2\right)\) <=>64\(\le P\left(16-P\right)\)
<=>P2-16P+64\(\le0< =>\left(P-8\right)^2\le0\) <=>P=8
DF
1
14 tháng 1 2021
Ta có x + y + z = 1 nên z = 1 - x - y.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{\sqrt{xy+z\left(x+y+z\right)}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}+\sqrt{2x^2+2y^2}\ge1+\sqrt{xy}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
\(\left(z+x\right)\left(z+y\right)\ge\left(\sqrt{z}.\sqrt{z}+\sqrt{x}.\sqrt{y}\right)^2=\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}=\sqrt{xy}-x-y+1\); (1)
\(\sqrt{2x^2+2y^2}=\sqrt{\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\). (2)
Cộng vế với vế của (1), (2) ta có đpcm.
PP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 5 2021
Đề bài sai, sửa đề: \(2\le\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\le\sqrt{6}\)
Đặt \(P=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}>0\)
\(\Rightarrow P^2=x^2+y^2+xy+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)xy}\ge x^2+y^2+xy+2\sqrt{2xy.xy}\)
\(\Rightarrow P^2\ge x^2+y^2+\left(2\sqrt{2}+1\right)xy\ge x^2+y^2+2xy=4\)
\(\Rightarrow P\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(2;0\right);\left(0;2\right)\)
Lại có: \(P^2=x^2+y^2+xy+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)xy}=x^2+y^2+xy+\sqrt{4xy.\left(x^2+y^2\right)}\)
\(\Rightarrow P^2\le x^2+y^2+xy+\dfrac{1}{2}\left(4xy+x^2+y^2\right)=\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)^2=6\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3-\sqrt{3}}{3};\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}\right)\)
KT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 12 2020
Bạn coi lại đề, nhìn 2 vế của điều kiên đều là \(\sqrt{x+2}\) có vẻ sai sai rồi đó
ta co:\(y^2\sqrt{x-2}-2y+\sqrt[]{x-2}=0\)
xét denta:\(\Delta=b^2-4ac=4-4.\left(x-2\right)=4\left(3-x\right)\)
để có y thỏa mãn => denta >=0
=>\(3>=x\)
=>dpcm