Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(9x^2+y^2+z^2-36x-16y+10z=-125\)
\(\Leftrightarrow\) \(9x^2+y^2+z^2-36x-16y+10z+125=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(9x^2-36x+36+y^2-16y+64+z^2+10z+25=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(9\left(x-2\right)^2+\left(y-8\right)^2+\left(z+5\right)^2=0\)
Mà \(\left(x-2\right)^2;\left(y-8\right)^2;\left(z+5\right)^2\ge0\) với mọi \(x;y;z\)
nên \(\left(x-2\right)^2=0;\left(y-8\right)^2=0;\left(z+5\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(x-2=0;y-8=0;z+5=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(x=2;y=8;z=-5\)
Vậy, \(xy+yz+xz=-34\)
Áp dụng BĐT (a - b)² ≥ 0 → a² + b² ≥ 2ab ta có:
+) x² + y² ≥ 2xy
x² + 1 ≥ 2x
+) y² + z² ≥ 2yz
y² + 1 ≥ 2y
+) z² + x² ≥ 2xz
z² + 1 ≥ 2z
=> 2 ( x2 + y2 + z2 ) ≥ 2( xy + yz + xz )
cộng các BĐT trên ta có
3( x2 + y2 + z2 ) + 3 ≥ 2( x + y + z + xy + yz + xz)
=> GTNN của P = 3 khi và chỉ khi x=y=z=1
Ta có đẳng thức:
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(A=x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow Min_A=\frac{1}{3}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
hoặc bạn áp dụng hệ thức holder á
Ta có:
\(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
Mặt khác:
\(\left(xy+yz+zx\right)^2=1\le3\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3}\le\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)
hay \(x^4+y^4+z^4\ge\frac{1}{3}\Rightarrow A\ge\frac{1}{3}\)
Vậy \(Min_A=\frac{1}{3}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
với mọi x, y, z ta có:
(x-y)^2 +(y-z)^2+ (z-x)^2>=0
<=>2x^2 +2y^2 + 2z^2 - 2xy -2yz - 2xz >=0
<=>x^2 + y^2 +z^2 - xy -yz -zx >=0
<=>(x+y+z)^2 >= 3(x+y+z)
<=>[(x+y+z)^2]/3 >= xy+yz+ zx
=>xy +yz + zx <=3
dấu = xảy ra khi x=y=z =1
ai tích mình tích lại nhưng phải lên điểm mình tích gấp đôi
\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\\ \Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z\\ \text{Mà }x+y+z=-3\Leftrightarrow x=y=z=-1\\ \Leftrightarrow B=1-1+1=1\)
