Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC nên ta có AM = MC = MB = BC/2
Dễ thấy \(\widehat{AMB}=2.\widehat{ACB}\) (Tam giác AMC cân tại M có AMB là góc ngoài)
Suy ra : \(Sin2\alpha=Sin\widehat{AMB}=\frac{AH}{AM}\)
Mặt khác ta lại có \(BC=2AM\) ; \(AH=\frac{AB.AC}{BC}\) \(\Rightarrow Sin2\alpha=\frac{\frac{AB.AC}{BC}}{\frac{BC}{2}}=\frac{2AB.AC}{BC^2}=2.\frac{AB}{BC}.\frac{AC}{BC}=2Sin\widehat{ABC}.Sin\widehat{ACB}=2Cos\alpha.Sin\alpha\)
Vậy \(Sin2\alpha=2Sin\alpha.Cos\alpha\)
rút gọn biểu thức
a. 1 - sin2 2
b. (1+cos2) (1 - cos2)
c. sin4 2 + cos4 2 + 2sin2 2 cos2 2
giúp mình với
a) Xét tam giác AEH và tam giác AHB có:
\(\widehat{AEH}=\widehat{AHB}=90^o\)
Góc A chung
\(\Rightarrow\Delta AEH\sim\Delta AHB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{AE}{AH}\Rightarrow AE.AB=AH^2\)
Tương tự \(\Delta AHF\sim\Delta ACH\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AC}=\frac{AF}{AH}\Rightarrow AF.AC=AH^2\)
Xét tam giác vuông ABC có AH là đường cao nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
\(HB.HC=AH^2\)
Vậy nên ta có AE.AB = AF.AC = HB.HC
b) Ta có \(\Delta AHC\sim\Delta BAC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{HC}{AC}\Rightarrow AH.AC=AB.HC\)
\(\Rightarrow AB.AH.AC=AB.AB.HC\Rightarrow\left(AB.AC\right).AH=AB^2.HC\)
\(\Rightarrow BC.AH.AH=AB^2.HC\Rightarrow AH^2.BC=AB^2.HC\)
\(\Rightarrow\frac{AH^2}{AB^2}=\frac{CH}{BC}\Rightarrow\left(\frac{AH}{AB}\right)^2=\frac{CH}{BC}\Rightarrow sin^2B=\frac{CH}{BC}\)
c) Xét tam giác vuông ABC có AH là đường cao, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có :
\(AC^2=HC.BC\)
Lại có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên BC = 2AM.
Suy ra \(AC^2=HC.2.AM\Rightarrow\frac{1}{AM}=\frac{2HC}{AC^2}\Rightarrow\frac{AH}{AM}=2.\frac{AH}{AC}.\frac{HC}{AC}\)
\(\Rightarrow sin\widehat{AMB}=2.sin\widehat{ACB}.cos\widehat{ACB}\)
Lời giải:
Xét tam giác vuông $ABC$ ta có:
\(\sin B=\frac{AC}{BC}(1)\)
Lại có, vì tam giác $BAH$ vuông tại $H$ nên: \(\widehat{ABC}=90^0-\widehat{BAH}=\widehat{HAC}\)
\(\Rightarrow \sin B=\sin \widehat{ABC}=\sin \widehat{HAC}=\frac{HC}{AC}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \sin ^2B=\frac{AC}{BC}.\frac{HC}{AC}=\frac{HC}{BC}\) (đpcm)
b)
Lấy $M$ là trung điểm của $BC$
Vì $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(AM=\frac{BC}{2}=MC\)
Do đó tam giác $AMC$ cân tại $M$
\(\Rightarrow \widehat{HMA}=\widehat{MAC}+\widehat{MCA}=2\widehat{MCA}=2\widehat{C}\)
\(\Rightarrow \sin 2C=\sin \widehat{HMA}=\frac{AH}{AM}=\frac{AH}{\frac{BC}{2}}=\frac{2AH}{BC}\)
Mặt khác:
\(2\sin C.\cos C=2.\frac{AH}{AC}.\frac{AC}{BC}=\frac{2AH}{BC}\)
Vậy \(\sin 2C=2\sin C\cos C\) (đpcm)
