![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hình tự vẽ nha
Kẻ phân giác \(AD,BK\perp AD\)
\(\sin\dfrac{A}{2}=\sin BAD\)
xét \(\Delta AKB\) vuông tại K,có:
\(\sin BAD=\dfrac{BK}{AB}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta BKD\) vuông tại K,có :
\(BK\le BD\) thay vào (1):
\(\sin BAD\le\dfrac{BD}{AB}\left(2\right)\)
lại có:\(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BD+CD}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)
\(\Rightarrow BD=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}\) thay vào (2)
\(\sin BAD\le\dfrac{\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}}{AB}=\dfrac{BC}{AB+AC}\)
\(\RightarrowĐPCM\)
Tick plz
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Trong trường hợp góc A vuông thì bài toán trở thành: \(a^2=b^2+c^2\) đúng theo Pitago
Trong trường hợp góc A nhọn:
Kẻ đường cao BH (H thuộc AC) \(\Rightarrow AH=AB.cosA=c.cosA\)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABH:
\(BH^2=AB^2-AH^2=c^2-AH^2\)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông BCH:
\(BC^2=BH^2+CH^2\Leftrightarrow a^2=c^2-AH^2+CH^2\)
\(\Leftrightarrow a^2=c^2-AH^2+\left(AC-AH\right)^2=c^2-AH^2+\left(AC^2-2AC.AH+AH^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2=c^2-AH^2+b^2-2b.AH+AH^2\)
\(\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2-2b.AH=b^2+c^2-2bc.cosA\) (đpcm)
Trong trường hợp góc A tù làm hoàn toàn tương tự:
\(a^2=BH^2+CH^2=c^2-AH^2+\left(b+AH\right)^2=c^2+b^2+2b.AH\)
\(=b^2+c^2+2b.AB.cos\widehat{BAH}=b^2+c^2-2bc.cosA\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Kẻ CE vuông góc với AB, ta có ngay tam giác ACE vuông có một góc nhọn 60. Suy ra \(AE=\frac{1}{2}AC=\frac{b}{2},CE=\frac{\sqrt{3}}{2}b\). Xét tam giác vuông EBC có '\(EB=c+\frac{b}{2},EC=\frac{\sqrt{3}}{2}b\to a^2=BC^2=BE^2+CE^2=\left(c+\frac{b}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}b\right)^2=c^2+bc+b^2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{ax}\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{by}\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{cz}\frac{1}{\sqrt{c}}\)
\(\le\sqrt{\left(ax+by+cz\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}=\sqrt{2S_{ABC}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}\)
\(=\sqrt{\frac{abc}{2R}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}=\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{2R}}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}\)
Heron \(4\sqrt{3}S=\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-6\left(a^4+b^4+c^4\right)}\)
Cần CM: \(a^2+b^2+c^2\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-6\left(a^4+b^4+c^4\right)}\)
\(\Leftrightarrow\)\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\) đúng (Cauchy-Schwarz)
Dấu "=" xảy ra khi ABC đều