Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
4/Gọi hai trung tuyến kẻ từ B, C là BM và CN, chúng cắt nhau tại O
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng : Nếu hai trung tuyến đó vuông góc thì b^2 + c^2 = 5a^2 , từ đó suy ra điều ngược lại (vì mệnh đề này đúng với thuận và đảo)
Gỉa sử BM vuông góc với CN tại O
Ta đặt OM = x => OB = 2x và => OC =2y
AB^2/4 + AC^2/4= NB^2 + MC^2 = ON^2 + OB^2 + OM^2 + OC^2 = 5(x^2 + y^2)
=> AB^2 + AC^2 = 20(x^2 + y^2)
Mà BC^2 = OC^2 + OB^2 = 4(x^2 + y^2)
Suy ra : AB^2 + AC^2 = 5.4(x^2 + y^2) = 5BC^2 hay b^2 + c^2 = 5a^2
ta có điều ngược lại là nếu b^2 + c^2 = 5a^2 thì hai trung tuyến vuông góc(cái này tự làm ngược nha bn)
5
Vẽ tam giác ABC cân tại A có góc A bằng 36 độ. Và BC=1.Khi đó góc B = góc C = 72 độ.
Vẽ BD phân giác góc B , DH vuông góc AB. Đặt AH=BH=x, ta có AB=AC=2x và DC=2x-1
Cm được tam giác ABD và BCD cân => AD=BD=BC=1
cos A = cos 36 = AH/AD=x/1=x
Vì BD là đường phân giác nên AD/DC=AB/AC => \(\frac{1}{2x-1}=\frac{2x}{1}\)
=> \(4x^2-2x-1=0\Leftrightarrow\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\left(2x-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\left(N\right)\\x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}< 0\left(L\right)\end{cases}}\)
Vậy cos 36o = (1 + √5)/4
1. Để chứng minh cung DE có số đo không đổi, ta cần chứng minh góc \(\angle BOC\) có số đo không đổi. Thực vậy, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, OB và OC là phân giác ngoài của tam giác ABC. Ta có
\(\angle BOC=180^{\circ}-\frac{\angle MBC}{2}-\frac{\angle NCB}{2}=\frac{\angle ABC}{2}+\frac{\angle ACB}{2}=90^{\circ}-\frac{\angle BAC}{2}=90^{\circ}-\frac{a}{2}\)
Do đó góc \(\angle BOC\) có số đo không đổi. Suy ra cung DE có số đo không đổi.
2. Do CD vuông góc với AB nên BC,BD là đường kính của hai đường tròn (O) và (O'). Suy ra
\(\angle CFB=\angle DEB=90^{\circ}\to\angle CFD=\angle CED=90^{\circ}.\) Vậy tứ giác CDEF nội tiếp. Do đó \(\angle ECF=\angle EDF\to\angle FAB=\angle ECF=\angle EDF=\angle EDB\)
Vậy AB là phân giác của góc AEF.
3. Đề bài có chút nhầm lẫn, "kẻ \(IH\perp BC\) mới đúng. Do tam giác ABC nhọn và I nằm trong nên các điểm H,K,L nằm trên các cạnh của tam giác. Sử dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2,\) ta suy ra \(AL^2+BL^2\ge\frac{1}{2}\left(AL+BL\right)^2=\frac{1}{2}AB^2.\) Tương tự ta cũng có \(BH^2+CH^2\ge\frac{1}{2}BC^2,KC^2+KA^2\ge\frac{1}{2}AC^2.\) Mặt khác theo định lý Pitago
\(AL^2+BH^2+CK^2=\left(IA^2-IL^2\right)+\left(IB^2-IH^2\right)+\left(IC^2-IK^2\right)\)
\(=\left(IA^2-IK^2\right)+\left(IB^2-IL^2\right)+\left(IC^2-IH^2\right)\)
\(=BL^2+CH^2+AK^2.\)
Thành thử \(AL^2+BH^2+CK^2=\frac{\left(AL^2+BL^2\right)+\left(BH^2+CH^2\right)+\left(CK^2+AK^2\right)}{2}\ge\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{2}.\)
Dấu bằng xảy ra khi \(AL=BL,BH=CH,CK=AK\Leftrightarrow I\) là giao điểm ba đường trung trực.
Bài 2:
ΔOBC cân tại O
mà OK là trung tuyến
nên OK vuông góc BC
Xét tứ giác CIOK có
góc CIO+góc CKO=180 độ
=>CIOK là tứ giác nội tiếp
Bài 3:
Xét tứ giác EAOM có
góc EAO+góc EMO=180 độ
=>EAOM làtứ giác nội tiếp
a) Ta có OB=OC (cùng là bán kính (O))
AB=AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A)
→O và A cách đều 2 đầu đoạn thẳng BC
→OA là đường trung trực của BC
→OA \(\perp\) BC
Xét Δ OBA vuông tại B có đường cao BH:
OB2= OH . OA (hệ thức lượng)
mà OB=R (OB là bán kính của (O))
→R2 =OH.OA
b)Xét ΔDBC nội tiếp (O) có đường kính BD
→ΔDBC vuộng tại C có cạnh huyền BD
→BC\(\perp\) CD mà OA\(\perp\)BC (cmt)
→OA song song CD
Ta có : AB song song CK (cùng \(\perp\) BD)
Xét ΔOBA vuông tại B
ΔDKC vuông tại K , có
\(\widehat{BOA}\) = \(\widehat{KDC}\) ( 2 góc đồng vị của OA song song CD)
→ΔOBA đồng dạng ΔDKC (g.n)
→\(\frac{OB}{DK}\) =\(\frac{OA}{DC}\) =\(\frac{BA}{KC}\) (tỉ số đồng dạng)
→OA . CK=AB. CD
mà AB=AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A)
→AC . CD= CK . OA (đpcm)
Gọi hai trung tuyến kẻ từ B, C là BM và CN, chúng cắt nhau tại O
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng : Nếu hai trung tuyến đó vuông góc thì b^2 + c^2 = 5a^2 , từ đó suy ra điều ngược lại (vì mệnh đề này đúng với thuận và đảo)
Gỉa sử BM vuông góc với CN tại O
Ta đặt OM = x => OB = 2x và => OC =2y
AB^2/4 + AC^2/4= NB^2 + MC^2 = ON^2 + OB^2 + OM^2 + OC^2 = 5(x^2 + y^2)
=> AB^2 + AC^2 = 20(x^2 + y^2)
Mà BC^2 = OC^2 + OB^2 = 4(x^2 + y^2)
Suy ra : AB^2 + AC^2 = 5.4(x^2 + y^2) = 5BC^2 hay b^2 + c^2 = 5a^2
Vậy ta có điều ngược lại là nếu b^2 + c^2 = 5a^2 thì hai trung tuyến vuông góc