Question

[Phạm Thị Hằng]

Cho tam giác ABC bất kì. Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giá ABC. Chứng minh rằng:

 \(R\ge2r\) ?

Answer 1

[alibaba nguyễn]

Không thì dùng định lý Euler nhanh hơn. Gọi d là khoản cách giữa tâm nội tiếp và ngoại tiếp thì ta có

\(d^2=R\left(R-2r\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow R\ge2r\)

Answer 2

[alibaba nguyễn]

Ta có: \(S=\frac{abc}{4R}=\frac{\left(a+b+c\right)r}{2}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}R=\frac{abc}{4S}\\r=\frac{2S}{a+b+c}\end{cases}}\)

Ta cần chứng minh:

\(R\ge2r\)

\(\Leftrightarrow\frac{abc}{4S}\ge\frac{4S}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow abc\left(a+b+c\right)\ge16S^2\)

\(\Leftrightarrow abc\left(a+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\)

\(\Leftrightarrow abc\ge\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\)

Ta có: 

\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}\le\frac{a+b-c+a+c-b}{2}=a\)

Tương tự ta có điều phải chứng minh

Tới đây thì xong rồi nhé.