Question

[chi chăm chỉ]

Cho số \(A=n^4+4^n\) .Với \(n\in Z^+\)

Hỏi A là số nguyên tố hay hợp số

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Ta xét hai trường hợp : 

1. n = 1 => A = 5 là số nguyên tố.

2. Với n là số nguyên dương lớn hơn 1 và n chẵn , dễ thấy A chia hết cho 2 và A > 2 => A là hợp số

3. Với n là số nguyên dương lớn hơn 1 và n lẻ , ta biểu diễn : \(A=\left(n^4-1\right)+\left(4^n+1\right)=\left(n^4-1\right)+\left(4+1\right).B\)với B là một biểu thức trong phân tích \(4^n+1\)thành nhân tử.

Xét các số nguyên n không chia hết cho 5 sẽ có dạng : \(n=5k\pm1,n=5k\pm2\)(\(k\in N\))

n² có một trong hai dạng : \(n^2=5k+1\), \(n^2=5k+4\)

n⁴ có một dạng duy nhất :  \(n^4=5k+1\)

Do đó : \(n^4-1\) chia hết cho 5. Lại có \(\left(4+1\right)B=5B\) cũng chia hết cho 5.

Vậy ta có \(A⋮5,A>5\) => A là hợp số.

Vậy A là số nguyên tố nếu n = 1 , A là hợp số nếu n > 1