![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1, \(sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)+cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)
⇔ \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
⇔ \(sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}\right)=sin\dfrac{\pi}{4}\)
2, \(\left(\sqrt{3}-1\right)sinx+\left(\sqrt{3}+1\right)cosx=1-\sqrt{3}\)
⇔ \(\dfrac{\left(\sqrt{3}-1\right)}{2\sqrt{2}}sinx+\dfrac{\left(\sqrt{3}+1\right)}{2\sqrt{2}}cosx=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\)
⇔ sinx . si
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(L=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-\sqrt[4]{1-2x}}{x^2+x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\left(1+x^2\right)^{\frac{1}{3}}-\left(1-2x\right)^{\frac{1}{4}}}{x^2+x}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\frac{2}{3}x\left(1+x^2\right)^{-\frac{2}{3}}+\frac{1}{2}\left(1-2x\right)^{-\frac{3}{4}}}{2x+1}=\frac{1}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
\(y=\sqrt{1-x^2}\Rightarrow y'=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{y}\)
\(\Rightarrow y''=\frac{(-x)'.y-(-x).y'}{y^2}=\frac{-y+xy'}{y^2}\)
Do đó:
\(y^2.y''-xy'+y=y^2.\frac{-y+xy'}{y^2}-xy'+y=(-y+xy')-xy'+y=0\)
Ta có đpcm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Làm bừa xí, đúng hay ko còn tùy :)
Giả sử phương trình có 3 nghiệm x1, x2, x3 lập thành CSC
\(\Rightarrow x_1+x_3=2x_2\left(1\right)\)
Also have: \(x^3-ax^2+bx-c=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)=x^3-\left(x_1+x_2+x_3\right)x^2+\left(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\right)x-x_1x_2x_3\)
\(\Rightarrow x_1+x_2+x_3=a\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow3x_2=a\Leftrightarrow x_2=\dfrac{a}{3}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a}{3}\right)^2-a\left(\dfrac{a}{3}\right)^2+b.\left(\dfrac{a}{3}\right)-c=0\Leftrightarrow-\dfrac{2a^3}{27}+\dfrac{ba}{3}-c=0\Leftrightarrow9ab=2a^3+27c\left(dpcm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(sinx-\sqrt{3}cosx=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}sinx-\dfrac{\sqrt{3}}{2}cosx=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=\left\{-\dfrac{5\pi}{6};\dfrac{\pi}{2}\right\}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
(1−m2)(x+1)3+x2−x−3=0
f(x)=(1−m2) (x+1)3+x2−x−3 là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]
Ta có f(−1)=−1<0 và f(−2)=m2+2>0 nên f(−1) f(−2)<0 với mọi m.
Do đó, phương trình f(x)=0 luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m. Nghĩa là, phương trình (1−m2) (x+1)3+x2−x−3 luôn có nghiệm với mọi m.
Do hàm số \(\left(1-m^2\right)\left(x+1\right)^3+x^2-x-3\) là hàm đa thức nên nó liên tục trên R, nên liên tục trên \(\left[-2,-1\right]\)
\(f\left(-1\right)=-1< 0;f\left(-2\right)=m^2+2>0\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(-2\right)< 0\)
Do đó phương trình luôn có nghiệm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a. \(lim_{x\rightarrow3}\dfrac{x^3-27}{3x^2-5x-2}=\dfrac{3^3-27}{3.3^2-5.3-2}=\dfrac{0}{10}=0\)
b. \(lim_{x\rightarrow2}\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{4x^2-3x-2}=\dfrac{\sqrt{2+2}-2}{4.2^2-3.2-2}=\dfrac{0}{8}=0\)
c. \(lim_{x\rightarrow1}\dfrac{1-x^2}{x^2-5x+4}=lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(1-x\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}=lim_{x\rightarrow1}\dfrac{-\left(x+1\right)}{x-4}=\dfrac{-\left(1+1\right)}{1-4}=\dfrac{2}{3}\)
d. Câu này mình chịu, nhìn đề hơi lạ so với bình thường hehe
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(f\left(x\right)=\left(1+m^2\right)\left(x-1\right)^3+x^2-2\)
\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R
\(f\left(1\right)=-1< 0\)
\(f\left(2\right)=1+m^2+4-2=m^2+3>0;\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(1;2\right)\) với mọi m
Hay pt luôn có ít nhất 1 nghiệm dương với mọi m