Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Có: \(\Delta=p^2+4>0\), mọi p
=> phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt .
Áp dụng định lí Viet ta có:
\(x_1+x_2=-p\)
\(x_1.x_2=-1\)
Ta cần chứng minh với n là số tự nhiên: \(S_{n+2}=-pS_{n+1}+S_n\) (1)
+) Với \(S_0=x_1^o+x_2^o=2\);\(S_1=-p\)
\(S_2=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=p^2+2=-pS_1+S_2\)
=>(1) đúng với n = 0.
+) G/s : (1) đúng với n
+) Chứng minh (1) đúng (1) đúng với n +1
Ta có: \(S_{n+1}=x_1^{n+1}+x_2^{n+1}=\left(x_1^n+x_2^n\right)\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2\left(x_1^{n-1}+x_1^{n-2}\right)\)
\(=-pS_n+S_{n-1}\)
=> (1) đúng với n +1
Vậy với mọi số tự nhiên n: \(S_{n+2}=-pS_{n+1}+S_n\)(1)
G/s: \(\left(S_n;S_{n+1}\right)=d\)
=> \(\hept{\begin{cases}S_{n+1}=-pS_n+S_{n-1}⋮d\\S_n⋮d\end{cases}}\Rightarrow S_{n-1}⋮d\)
=> \(\hept{\begin{cases}S_n=-pS_{n-1}+S_{n-2}⋮d\\S_{n-1}⋮d\end{cases}}\Rightarrow S_{n-2}⋮d\)
.....
Cứ tiếp tự như vậy
=> \(S_0⋮d;S_1⋮d\)
=> \(\hept{\begin{cases}2⋮d\Rightarrow d\in\left\{\pm1;\pm2\right\}\\-p⋮d\Rightarrow d\in\left\{\pm1;\pm p\right\}\end{cases}}\)
Mà p là số lẻ
=> d =1
=> \(S_n;S_{n-1}\)là hai số nguyên tố cùng nhau.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
b/ \(\Delta'=m^2+4m+11=\left(m+2\right)^2+7>0\) \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
c/ Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-4m-11\end{matrix}\right.\)
\(\frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_1-1}=-5\Leftrightarrow\frac{x_1\left(x_1-1\right)+x_2\left(x_2-1\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=-5\)
\(\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2-\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=-5\Leftrightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=-5\)
\(\Leftrightarrow\frac{4m^2+8m+22-2m}{-4m-11-2m+1}=-5\Leftrightarrow4m^2+6m+22=30m+50\)
\(\Leftrightarrow4m^2-24m-28=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=7\end{matrix}\right.\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Khi m = 1, pt trở thành:
\(x^2-2x-15=0\\ \Leftrightarrow x^2+3x-5x-15=0\\ \Leftrightarrow x\left(x+3\right)-5\left(x+3\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(x-5\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\x-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=5\end{matrix}\right.\)
\(b)\Delta'=b'^2-ac\\ =\left(-m\right)^2-1\left(-4m-11\right)\\ =m^2+4m+11\\ =\left(m^2+2.m.2+2^2\right)+7\\ =\left(m+2\right)^2+7>\forall m\)
\(c)\)Theo hệ thức Vi - ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2m\\x_1.x_2=\frac{c}{a}=-4m-11\end{matrix}\right.\)
\(\frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_1-1}=-5\\ \Leftrightarrow\frac{x_1\left(x_1-1\right)+x_2\left(x_2-1\right)}{\left(x_2-1\right)\left(x_1-1\right)}=-5\\ \Leftrightarrow\frac{x_1^2-x_1+x_2^2-x_2}{x_1x_2-x_2-x_1+1}=-5\\ \Leftrightarrow\frac{\left(x_1^2+x_2^2\right)-\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=-5\\ \Leftrightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=-5\)
Thay vào là được nhé! Tự tiếp giúp mình
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-2x-2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x^2-2x-2=0\end{matrix}\right.\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x_3=2\) và \(x_1;x_2\) là nghiệm của \(x^2-2x-2=0\)
Do \(2^n\) nguyên nên ta chỉ cần chứng minh \(P\left(n\right)=x_1^n+x_2^n\) nguyên
\(P\left(1\right)=x_1+x_2=2\in Z\) thỏa mãn
\(P\left(2\right)=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=8\in Z\) thỏa mãn
\(P\left(1\right).P\left(n\right)=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^n+x_2^n\right)=x_1^{n+1}+x_2^{n+1}+x_1x_2\left(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}\right)\)
\(\Leftrightarrow2P\left(n\right)=P\left(n+1\right)-2P\left(n-1\right)\)
\(\Leftrightarrow P\left(n+1\right)=2P\left(n\right)+2P\left(n-1\right)\)
\(P\left(1\right);P\left(2\right)\) nguyên \(\Rightarrow P\left(3\right)\) nguyên \(\Rightarrow P\left(4\right)\) nguyên \(\Rightarrow...\Rightarrow P\left(n\right)\) nguyên với mọi n (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
|x1|=3|x2|
=>|2m+2-x2|=|3x2|
=>4x2=2m+2 hoặc -2x2=2m+2
=>x2=1/2m+1/2 hoặc x2=-m-1
Th1: x2=1/2m+1/2
=>x1=2m+2-1/2m-1/2=3/2m+3/2
x1*x2=m^2+2m
=>1/2(m+1)*3/2(m+1)=m^2+2m
=>3/4m^2+3/2m+3/4-m^2-2m=0
=>m=1 hoặc m=-3
TH2: x2=-m-1 và x1=2m+2+m+1=3m+3
x1x2=m^2+2m
=>-3m^2-6m-3-m^2-2m=0
=>m=-1/2; m=-3/2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\Delta=m^2+12>0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) Khi \(n=0\) thì pt có nghiệm với mọi m
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=n-3\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\x_1^2-x_2^2=7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)=7\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\x_1+x_2=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=4\\x_2=3\end{matrix}\right.\)
Thế vào hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}4+3=-m\\4.3=n-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-7\\n=15\end{matrix}\right.\)