Question

[Blackcoffee]

Cho phương trình \(x^3-5x^2+\left(2m+5x\right)-4m+2=0\) (m là tham số).

a, Tìm điều kiện của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt   \(x_1,x_2,x_3.\)

b, Tìm giá trị của m để   \(x_1^2+x_2^2+x_3^2=11.\)

Hướng làm có lẽ là phân tích thành nhân tử để đưa pt xuống bậc 2 

thanks

Answer 1

[Đặng Ngọc Quỳnh]

a) \(x^3-5x^2+\left(2m+5\right)x-4m+2=0\left(1\right)\)\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-3x+2m-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x^2-3x+2m-1=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Để phương trình (1)  có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

Điều kiện là: \(\hept{\begin{cases}\Delta>0\\4-6+2m-1\ne0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}13-8m>0\\2m\ne3\end{cases}\Leftrightarrow\frac{3}{2}\ne}m< \frac{13}{8}}\)

b) Ta có 3 nghiệm của phương trình (1) là x₁=2;x₂;x₃ trong đó x₂;x₃ là 2 nghiệm của phương trình (2)

Khi đó \(x_1^2+x_2^2+x_3^2=11\Leftrightarrow4+\left(x_2+x_3\right)^2-2x_2x_3=11\Leftrightarrow\left(x_2+x_3\right)^2-2x_2x_3=7\left(3\right)\)

Áp dụng định lý  Vi-ét đối với phương trình (2) ta có : \(\hept{\begin{cases}x_2+x_3=3\\x_2x_3=2m-1\end{cases}}\)

Vậy (3) \(\Leftrightarrow9-2\left(2m-1\right)=7\Leftrightarrow m=1\left(TM\text{Đ}K\right)\)

Vậy m=1