Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sửa lại đề bài :
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết 2p + 1 cũng là số nguyên tố.
Chứng minh rằng: p + 1 chia hết cho 6.
Bài Giải
Ta chứng minh p + 1 ⋮2,3
- Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3
=> p + 1 = 2k + 1 => p + 1 = 2k + 1 + 1 = 2k + 2 = 2 ( k + 1)
Mà : k + 1 ∈ N => 2 ( k + 1 ) ⋮2 (1)
- Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3
=> p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2
+ Trường hợp 1 : p = 3k + 1 => p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3 ( k + 1 )
Mà : k + 1 ∈ N ; p > 3 => k ≥ 1 => 3 ( k + 1 ) là hợp số
=> p + 2 là hợp số ( vô lý )
=> p = 3k + 2 => p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3 ( k + 1 )
Mà : k + 1 ∈ N => 3 ( k + 1 ) ⋮3 hay p + 1 ⋮3 (2)
Từ (1) và (2) => p + 1 ⋮6 (đpcm)
\(p\)là số nguyên tố lớn hơn \(3\)nên \(p\)có dạng \(3n+1\)hoặc \(3n+2\)(với \(n\inℕ^∗\))
Nếu \(p=3n+1\)thì \(2p+1=6n+3⋮3\)
Suy ra \(p=3n+2\).
Khi đó \(p+1=3n+3⋮3\)là hợp số.
2p - 1 = ( p - 1 ) . ( p + 1 )
p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p không chia hết cho 2 ; 3
Ta có : p không chia hết cho 2
=> p - 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp => ( p - 1 ) . ( p + 1 ) chia hết cho 8 ( 1 )
Lại mặt khác ta có : p không chia hết cho 3
Nếu p = 3k + 1 thì p - 1 = 3k chia hết cho 3 => ( p - 1 ) . ( p + 1 ) chia hết cho 3
Tương tự ta có : Nếu p = 3k + 2 thì p + 1 = 3k + 3 chia hết cho 3 => ( p - 1 ) . ( p + 1 ) chia hết cho 3 (2)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => 2p - 1 chia hết cho 8 cho 3 mà ( 8; 3 ) = 1 => 2p - 1 chia hết cho .............
ta có 2p+2=p(p+1) vì p là số nguyên tố , p>3 => p lẻ =>p=1 \(⋮\)2=>2(p+1)\(⋮\)4 (1)
nếu p chia 3 dư 1 => p+2 \(⋮\)3 (vì p là số nguyên tố , p>3)
=> p chia 3 dư 2 => p+1 \(⋮\)3=>2(p+1)\(⋮\)3 (2)
từ (1),(2) => 2(p+1) \(⋮\)12
hap 2p+2 \(⋮\)12
Đặt A = 3^p -2^p -1
Vì 42p=2.3.7.p mà p là SNT > 7 nên ta cần CM A chia hết cho 2,3,7,p
Dễ thấy A chia hết cho 2 vì 3^p lẻ còn 2^p chẵn
p lẻ nên 2^p=2^(2k+1)=(2^2)^k.2 ≡ 2 (mod 3) ⇒ A ≡ 0-2-1 ≡ 0 (mod 3)
p không chia hết cho 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2
Nếu p=3k+1: Vì p lẻ nên k chẵn ⇒ p=6m+1 ⇒ 3^p=3^(6m+1)=(3^6)^m.3 ≡ 3 (mod 7) còn 2^p=2^(3k+1) ≡ 2 (mod 7) ⇒ A ≡ 3-2-1 ≡ 0 (mod 7)
Nếu p=3k+2: Vì p lẻ nên k lẻ ⇒ p=6m+5 ⇒ 3^p=3^(6m+5) ≡ 3^5 ≡ 5 (mod 7) còn 2^p=2^(3k+2) ≡ 4 (mod 7) ⇒ A ≡ 5-4-1 ≡ 0 (mod 7)
Tóm lại A chia hết cho 7
Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có:
3^p ≡ 3 (mod p)
2^p ≡ 2 (mod p)
⇒ A ≡ 3-2-1 ≡ 0 (mod p)
=> đpcm
CMR là chứng minh rồi . Mà chứng minh rồi thì làm chi nữa cho nó mệt.