Question

[Nguyễn Minh Đăng]

Cho \(\left(d\right):y=-\frac{2k}{k-1}x+\frac{2}{k-1}\) \(\left(k\ne1\right)\)

a) Tìm k để (d) // với \(y=\sqrt{3}x\). Khi đó tính góc tạo bởi (d) và trục Ox

b) Tìm k để khoảng cách từ O(0;0) đến (d) đạt GTLN

Answer 1

[Tô Hoài An]

a) Để (d) // \(y=\sqrt{3}x\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}-\frac{2k}{k-1}=\sqrt{3}\\\frac{2}{k-1}\ne0\left(HN\right);-\frac{2k}{k-1}\ne0\Rightarrow k\ne0\end{cases}}\Rightarrow-\frac{2k}{k-1}=\sqrt{3}\Rightarrow2k=\sqrt{3}\left(1-k\right)=\sqrt{3}-\sqrt{3}k\)

\(\Rightarrow2k+\sqrt{3}k=\sqrt{3}=k\left(2+\sqrt{3}\right)\Rightarrow k=\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}=2\sqrt{3}-3\)( TM )

Vậy \(k=2\sqrt{3}-3\)

Hàm số của (d) là : \(y=\sqrt{3}x-2-\sqrt{3}\)

Xét (d) có :

Cho \(x=0\Rightarrow y=-2-\sqrt{3}\)

\(y=0\Rightarrow x=\frac{3+2\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow\)(d) đi qua \(\left(0;-2-\sqrt{3}\right)\)và \(\left(\frac{3+2\sqrt{3}}{3};0\right)\)

Gọi (d) cắt Ox tại A\(\left(\frac{3+2\sqrt{3}}{3};0\right)\)và cắt Oy tại B\(\left(0;-2-\sqrt{3}\right)\)

\(\Rightarrow OA=\frac{3+2\sqrt{3}}{3};OB=|-2-\sqrt{3}|=2+\sqrt{3}\)

Vì \(a=\sqrt{3}>0\)\(\Rightarrow\)Xét \(\Delta AOB\)vuông tại O có : \(tan\alpha=\frac{OB}{OA}=\frac{2+\sqrt{3}}{\frac{3+2\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}\Rightarrow\alpha=60^o\)

Vậy góc tạo bởi (d) và trục Ox là : \(60^o\)

b) Xét (d) :

Cho \(x=0\Rightarrow y=\frac{2}{k-1}\)

       \(y=0\Rightarrow x=\frac{1}{k}\)

\(\Rightarrow\)(d) đi qua \(A\left(0;\frac{2}{k-1}\right)\)và \(B\left(\frac{1}{k};0\right)\)

Kẻ OH \(\perp\)AB ( \(H\in AB\))

Áp dụng htl trong \(\Delta ABO\) OH \(\perp\)AB ( \(H\in AB\)) có :

\(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=k^2+|\frac{k-1}{2}|^2=k^2+\frac{|k-1|^2}{4}=\frac{4k^2+|k-1|^2}{4}=\frac{4k^2+\left(k-1\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow OH=\sqrt{\frac{4}{4k^2+\left(k-1\right)^2}}=\frac{2}{\sqrt{4k^2+\left(k-1\right)^2}}\)

Đến đây thì mình tèo rồi, không biết phía trên làm sai chỗ nào nữa :'