Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=abc\)
\(\Rightarrow a^2b+ab^2+abc+abc+b^2c+bc^2+a^2c+abc+ac^2=abc\)
\(\Rightarrow a^2b+2abc+bc^2+ab^2+b^2c+a^2c+ac^2=0\)
\(\Rightarrow b\left(a^2+2ac+c^2\right)+\left(ab^2+b^2c\right)+\left(a^2c+ac^2\right)=0\)
\(\Rightarrow b\left(a+c\right)^2+b^2\left(a+c\right)+ac\left(a+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+c\right)\left(ab+bc+b^2+ac\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+c\right)\left[\left(ab+b^2\right)+\left(bc+ac\right)\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(a+c\right)\left[b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)\(\left[đpcm\left(a\right)\right]\)
\(\Rightarrow\)* \(a+b=0\Rightarrow a=-b\)
* \(b+c=0\Rightarrow b=-c\)
* \(a+c=0\Rightarrow a=-c\)
Trường hợp 1 : Nếu \(a=-b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{1}{-b^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\)\(=\frac{1}{b^3}-\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{1}{c^3}\)
Mà : \(\frac{1}{a^3+b^3+c^3}=\frac{1}{-b^3+b^3+c^3}=\frac{1}{c^3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{1}{a^3+b^3+c^3}\)\(\left[đpcm\left(b\right)\right]\)
Hai trường hợp còn lại xét tương tự nhé
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=0\)
Ta có
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
=> ĐPCM
áp dụng BĐT cô si dạng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\frac{a+b}{4}\)
tương tự làm tiếp 2 cái còn lại rồi cộng vế theo vế . rút gọn vế phải cho 2 là ra
Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ; \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\) ; \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
b.
Ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)
Cộng vế với vế (1); (2) và (3):
\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :
\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)
\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng mình
Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *
Khi đó:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)