Question

[Trần Thị Nhật Mai]

Cho ΔABC cân tại A. Kẻ BD ⏊ AC tại D, CE ⏊AB tại E. BD và CE cắt nhau tại H. AH cắt BC tại K, trên HK lấy M sao cho K là trung điểm của HM. Chứng minh:

a) ΔABD= ΔACE. b) Tam giác BHC cân.

c) ED//BC d) Tam giác ACM vuông

Answer 1

[Trên con đường thành công không có....]

a) Xét △ABD vuông tại D và △ACE vuông tại E có:

AB=AC (gt)

Góc A chung

⇒△ABD =△ACE (cạnh huyền - góc nhọn)

b)Từ △ABD =△ACE(câu a)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)(2 góc tương ứng) mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}-\widehat{ABD}=\widehat{ACB}-\widehat{ACE}\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\) hay \(\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\)⇒△BHC cân tại H (đpcm)

c)Từ △ABD =△ACE(câu a)

\(\Rightarrow AD=AE\)(2 cạnh tương ứng) ⇒△ADE cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\frac{180^0-\widehat{EAD}}{2}\left(1\right)\)

Mà ta lại có:

△ABC cân tại A⇒\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\)\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

hay \(\widehat{ABC}=\widehat{AED}\)mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên ED//BC (đpcm)

d)Xét △ABH và △ACH có:

AB=AC (gt)

AH chung

BH=CH (câu b)

⇒△ABH = △ACH (ccc)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)⇒ AH là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)hay AK là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

Xét △BAK và △CAK có:

BA=CA (gt)

\(\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\left(cmt\right)\)

AK chung

⇒△BAK =△CAK (cgc)

⇒BK=CK(2 cạnh tương ứng)

Xét △HKB và △MKC có:

HK=MK (gt)

\(\widehat{HKB}=\widehat{MKC}\) (đối đỉnh)

KB=KC (cmt)

⇒△HKB =△MKC (cgc)

\(\Rightarrow\widehat{HBK}=\widehat{MCK}\)(2 góc tương ứng) mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên DB//CM

\(\Rightarrow\widehat{ACM}=\widehat{ADB}=90^0\)(đồng vị)

⇒△ACM vuông tại C (đpcm0

Answer 2

[Trên con đường thành công không có....]