K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

27 tháng 3 2016

tách mẫu thành 3x+3y +x+z 
mấy mauax còn lại tương tự
sau đó dúng ssww

27 tháng 3 2016

http://diendantoanhoc.net/topic/156111-t%C3%ADnh-gi%C3%A1-tr%E1%BB%8B-l%E1%BB%9Bn-nh%E1%BA%A5t-c%E1%BB%A7a-m-frac14x3yz-frac1x4y3z-frac13xy4z/

Vghgyuhvfgcvvvvvv

27 tháng 2 2016

\(xy+xz+yz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
bây giờ ta đi chứng minh bđt phụ:
với \(a_1;a_2;...;a_8>0\)  ta có: \(a_1+a_2+...+a_8\ge8\sqrt[8]{a_1a_2...a_8}\)(Cô si) 
\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_8}\ge8\sqrt[8]{\frac{1}{a_1a_2...a_8}}\)
Nhân vế với vế ta đc:
\(\left(a_1+a_2+...+a_8\right)\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_8}\right)\ge64\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_8}\ge\frac{64}{a_1+a_2+...+a_8}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a1=a2=..=a8
a/d bđt trên ta có:
\(\frac{64}{4x+3y+z}=\frac{64}{x+x+x+x+y+y+y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
a/d tương tự với 2 cái còn lại rồi cộng vế với vế ; thay tổng 1/x+1/y+1/z=1 là xong nhé

13 tháng 5 2017

\(xy+yz+zx-xyz=1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz\)

\(=\left(1-x\right)-y\left(1-x\right)-z\left(1-x\right)+yz\left(1-x\right)\)

\(=\left(1-x\right)\left(1-y-z+yz\right)=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)

\(xy+yz+zx+xyz+2=1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz\)

\(=\left(1+x\right)+y\left(1+x\right)+z\left(1+x\right)+yz\left(1+x\right)\)

\(=\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\)

\(1+x+y+z=1+1\Rightarrow1+x=\left(1-y\right)+\left(1-z\right)\ge2\sqrt{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}\)

Tương tự ta cũng có: \(1+y\ge2\sqrt{\left(1-z\right)\left(1-x\right)}\)

\(1+z\ge2\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\)

Vậy \(S\le\frac{\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}{8\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\frac{1}{8}\)

27 tháng 7 2021

Ta có: \(P=\frac{\sqrt{x}}{1+x+xy}+\frac{\sqrt{y}}{1+y+yz}+\frac{\sqrt{z}}{1+z+xz}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}}{xy+x+1}+\frac{x\sqrt{y}}{x+xy+xyz}+\frac{xy\sqrt{z}}{xy+xyz+x^2yz}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}}{xy+x+1}+\frac{x\sqrt{y}}{xy+x+1}+\frac{\sqrt{xy}.\sqrt{xyz}}{xy+x+1}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{xy}}{xy+x+1}\le\frac{\frac{x+1}{2}+\frac{x\left(y+1\right)}{2}+\frac{xy+1}{2}}{xy+x+1}\) (bđt cosi)

=> \(P\le\frac{x+1+xy+x+xy+1}{2\left(xy+x+1\right)}=\frac{2\left(xy+x+1\right)}{2\left(xy+x+1\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra<=> x =  y = z = 1

Vậy MaxP = 1 <=> x = y = z = 1

9 tháng 10 2017

Lời giải:

Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{8^2}{4x+3y+z}\)

\(\Leftrightarrow\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{64}{4x+3y+z}\)

Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại:

\(\frac{4}{y}+\frac{3}{z}+\frac{1}{x}\ge\frac{64}{4y+3z+x}\)

\(\frac{4}{z}+\frac{3}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{64}{3x+y+4z}\)

Cộng theo vế: \(8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge64\left(\frac{1}{4x+3y+z}+\frac{1}{x+4y+3z}+\frac{1}{3x+y+4z}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{4x+3y+z}+\frac{1}{x+4y+3z}+\frac{1}{3x+y+4z}\le\frac{1}{8}\)

Vậy GT:N của biểu thức là \(\frac{1}{8}\) khi \(x=y=z=3\)

7 tháng 2 2019

Hay :D :) . Thanks chị 

5 tháng 2 2016

(*) Xét BĐT \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\) với a ; b; c ;d > 0 

BĐT <=> \(\left(a+b\right)\left(c+d\right)\ge ac+bd+2\sqrt{abcd}\)

  <=> \(ad-2\sqrt{abcd}+bc\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{ad}-\sqrt{bc}\right)^2\ge0\)

Dễ thấy BĐT cuối luôn đúng 

Dấu '' = '' của BĐT xảy ra khi ad = bc <=> \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

(*) ÁP dụng BĐT ta có 

\(\sqrt{3x+yz}=\sqrt{\left(x+y+z\right)x+yz}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+x\right)}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)

=> \(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Dấu '' = '' của BĐT xảy ra khi x/y = z/x 

(*) CMTT với hai cái còn lại 

Cộng Ba vế BĐT ta đc ĐPCM 

Dấu '' = '' của BĐT xảy ra khi x = y = z = 1  

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)

29 tháng 9 2019

Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!

Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)

Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0

Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)

(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)

Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)

Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)

Vậy...

P/s: Ko chắc nha!

30 tháng 9 2019

dit me may 

28 tháng 11 2016

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{x^4}{y+3z}+\frac{y+3z}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ge4\sqrt[4]{\frac{x^4}{y+3z}\cdot\frac{y+3z}{16}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}}=x\)

\(\Rightarrow\frac{x^4}{y+3z}\ge x-\frac{y+3z}{16}-\frac{1}{2}\).Tương tự ta có:

\(\frac{y^4}{z+3x}\ge y-\frac{z+3x}{16}-\frac{1}{2};\frac{z^4}{x+3y}\ge z-\frac{x+3y}{16}-\frac{1}{2}\)

Cộng theo vế ta có:

\(P\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{3}{4}\cdot3-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" khi x=y=z=1

28 tháng 11 2016

xin cho mình hỏi sao x+y+z lại\(\ge\)xy+yz+zx vậy