K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

6 tháng 4 2018

AM-GM 1 dòng thôi bạn :))

\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8\)

Dấu "=" khi a=b=c=1

6 tháng 4 2018

Áp dụng BĐT AM - GM cho các số không âm , ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}a+1\ge2\sqrt{a}\\b+1\ge2\sqrt{b}\\c+1\ge2\sqrt{c}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2.2.2.\sqrt{abc}\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\sqrt{abc}=8\left(đpcm\right)\)

6 tháng 4 2017

Vì a và 1 là 2 số dương \(\Rightarrow a+1\ge2\sqrt{a}\) (bđt AM - GM)

Vì b và 1 là 2 số dương \(\Rightarrow b+1\ge2\sqrt{b}\)(bđt AM - GM)

Vì c và 1 là 2 số dương \(\Rightarrow c+1\ge2\sqrt{c}\)(bđt AM - GM)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\) (đpcm)

30 tháng 3 2016

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng cặp số không âm (với  \(a,b,c>0\)), ta có:

\(a^2+1\ge2a\)  \(\left(1\right)\)

\(b^2+1\ge2b\)   \(\left(2\right)\)

\(c^2+1\ge2c\)   \(\left(3\right)\)

Nhân từng vế  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\left(3\right)\), ta được:

\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc=8\)  (do  \(abc=1\))

Xảy ra đẳng thức trên khi và chỉ khi  \(a=b=c=1\)

Ta có:\(\left(a-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+2a+1\right)-4a\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a\)

TT\(\Rightarrow\left(b+1\right)^2\ge4b\)

\(\left(c+1\right)^2\ge4b\)

Nhân vế theo vế ta được \(\left[\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\right]^2\ge64abc=64\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\)(đpcm)

6 tháng 10 2018

bn êi tích bằng 1 ko dùng ak

10 tháng 8 2017

\(A=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow A\ge\left(a+b+1\right).2ab+\frac{4}{a+b}=2\left(a+b+1\right)+\frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow A\ge\left(a+b\right)+\left(a+b\right)+\frac{4}{a+b}+2\)

\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{\left(a+b\right).\frac{4}{a+b}}+2\)

\(\Rightarrow A\ge2+4+2=8\)

"=" khi \(a=b=1\)

22 tháng 3 2019

\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=abc+ac+bc+ab+a+b+c+1\)

Áp dụng BĐT thức Cô si cho 3 số , ta có:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)

\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca+a+b+c+2\ge3+3+2=8\left(đpcm\right)\)

23 tháng 3 2019

Bạn Huyền dài dòng quá! Dự đoán a = b = c = 1 cô si phát là ra=)

\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)\(=8\sqrt{abc}=8^{\left(đpcm\right)}\)

10 tháng 8 2017

xin lỗi mik viết nhầm chỉ có 1 số 8 thôi

9 tháng 4 2017

Lời giải

\(\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge8\)

\(A=\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\dfrac{1}{c^2}\right)\)

\(A=\left[\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}-2\right)+2\right].\left[\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}-2\right)+2\right].\left[\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}-2\right)+2\right]\)

\(A=\left[\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+2\right].\left[\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+2\right].\left[\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+2\right]\)Thừa nhận cần c/m câu khác: \(\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2\ge0\forall x\ne0\)

\(\Rightarrow A\ge\left[\left(0\right)+2\right].\left[\left(0\right)+2\right].\left[\left(0\right)+2\right]=8\)

\(\Rightarrow A\ge8\forall_{a,b,c\ne0}\)=> dpcm

Đẳng thức khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left|a\right|=1\\\left|b\right|=1\\\left|c\right|=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\pm1\\b=\pm1\\c=\pm1\end{matrix}\right.\) Không tin bạn thử a=b=c=-1<0 vào thử xem

6 tháng 4 2017

Có một chút vần đề nha ĐK phải là a,b,c > 0 nhé

bài này ta sẽ chứng minh lần lượt \(a^2+\dfrac{1}{a^2};b^2+\dfrac{1}{b^2};c^2+\dfrac{1}{c^2}\)lớn hơn hoặc bằng 2

Ta sẽ giả sử

\(a^2+\dfrac{1}{a^2}\ge2\)(2)

\(\Leftrightarrow a^2-2+\dfrac{1}{a^2}\ge0\Leftrightarrow a^2-2a\times\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2\ge0\)(luôn đúng) (1)

BĐT (2) đúng suy ra BĐT (1) đúng

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a=\dfrac{1}{a}\Leftrightarrow a^2=1\Leftrightarrow a=1\)(*)

CMTT ta có : \(b^2+\dfrac{1}{b^2}\ge2\) (=) b = 1 (**)

\(c^2+\dfrac{1}{c^2}\ge2\) (=) c = 1 (***)

Nhân vế theo vế của (*) , (**) , (***) ta được

\(\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right).\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right).\left(c^2+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge2^3=8\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

6 tháng 4 2017

Dễ thấy: \(a^2;b^2;c^2\ge0\forall a;b;c\) mà \(a;b;c\ne0\) nên chỉ có \(a,b,c>0\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(a^2+\frac{1}{a^2}\ge2\sqrt{a^2\cdot\frac{1}{a^2}}=2\sqrt{1}=2\)

\(b^2+\frac{1}{b^2}\ge2\sqrt{b^2\cdot\frac{1}{b^2}}=2\sqrt{1}=2\)

\(c^2+\frac{1}{c^2}\ge2\sqrt{c^2\cdot\frac{1}{c^2}}=2\sqrt{1}=2\)

Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\ge2\cdot2\cdot2=8\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)