Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(x=1-a\), \(y=1-b\), \(z=1-c\)
Ta có : \(1+a=\left(1-b\right)+\left(1-c\right)=y+z\)
\(1+b=\left(1-a\right)+\left(1-c\right)=x+z\)
\(1+c=\left(1-a\right)+\left(1-b\right)=x+y\)
Áp dụng bđt Cauchy, ta có : \(A=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy Min A = 8 \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Sau 3 tháng cuối cùng cũng thanh toán được :|
Điểm rơi \(a=0;b=\dfrac{12}{23};c=\dfrac{18}{23}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(b^2\left(c-b\right)=\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot b\left(2c-2b\right)\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b+b-2c-2b}{3}\right)^3=\dfrac{4c^3}{27}\)
Và \(a^2\left(b-c\right)\le0\)
\(Q \le \frac{4c^3}{27}+c^2(1-c)=c^2-\frac{23}{27}.c^3=c^2(1-\frac{23}{27}.c)\)
\(=\frac{54^2}{23^2}.c^2.(1-\frac{23}{27}.c) \le \frac{1}{3^3}.\frac{54^2}{23^2}=\frac{108}{529}\)
\(a.\)
\(\text{*)}\) Áp dụng bđt \(AM-GM\) cho hai số thực dương \(x,y,\) ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\) (do \(xy=1\) )
\(\Rightarrow\) \(3\left(x+y\right)\ge6\)
nên \(D=x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+3\left(x+y\right)\ge x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+6\)
\(\Rightarrow\) \(D\ge\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]+5\)
\(\text{*)}\) Tiếp tục áp dụng bđt \(AM-GM\) cho bộ số loại hai số không âm gồm \(\left(x^2+y^2+1;\frac{9}{x^2+y^2+1}\right),\) ta có:
\(\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]\ge2\sqrt{\left(x^2+y^2+1\right).\frac{9}{\left(x^2+y^2+1\right)}}=6\)
Do đó, \(D\ge6+5=11\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=1\)
Vậy, \(D_{min}=11\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=1\)
\(b.\) Bạn tìm điểm rơi rồi báo lại đây
\(A=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)
\(=a^2+b^2+\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}\ge0\)
\(MinA=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2=0\\b^2=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}}}\)
Do\(1\le a\le b\le c\le d\le4\)
\(\Rightarrow M=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\ge\frac{1}{b}+\frac{b}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{b}.\frac{b}{4}}=1\) (AM-GM)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1;b=c=\frac{1}{2};d=4\)