K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
21 tháng 3 2022

Ta có:

\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{abc^2}}=\dfrac{2}{c}\)

Tương tự: \(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{2}{b}\) ; \(\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{2}{a}\)

Cộng vế với vế: \(\Rightarrow\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\right)+\dfrac{1}{2}\left(c^2+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2}.3\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{a^2}}+\dfrac{1}{2}.3\sqrt[3]{\dfrac{b^2}{b^2}}+\dfrac{1}{2}.3\sqrt[3]{\dfrac{c^2}{c^2}}=\dfrac{9}{2}\)

\(P_{min}=\dfrac{9}{2}\) khi \(a=b=c=1\)

NV
17 tháng 1 2021

Dự đoán điểm rơi xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(3;2;4\right)\)

Đơn giản là kiên nhẫn tính toán và tách biểu thức:

\(D=13\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}\right)+13\left(\dfrac{b}{24}+\dfrac{c}{48}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}+\dfrac{2}{ac}\right)+\left(\dfrac{b}{8}+\dfrac{c}{16}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{c}{12}+\dfrac{8}{abc}\right)\)

Sau đó Cô-si cho từng ngoặc là được

13 tháng 1 2022

Có cách nào làm ngắn hơn ko ạ

AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 5 2018

Lời giải:

Ta có:

\(P=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}=\frac{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}{abc}\)

Xét tử số:

\(\text{TS}=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\)

\(\Rightarrow \text{TS}^2=a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4+2(a^2b^4c^2+a^2b^2c^4+a^4b^2c^2)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left\{\begin{matrix} a^4b^4+b^4c^4\geq 2a^2b^4c^2\\ b^4c^4+c^4a^4\geq 2a^2b^2c^4\\ c^4a^4+a^4b^4\geq 2a^4b^2c^2\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế và rút gọn:

\(\Rightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\geq a^2b^4c^2+a^2b^2c^4+a^4b^2c^2\)

Do đó:

\(\text{TS}^2\geq 3(a^2b^4c^2+a^2b^2c^4+a^4b^2c^2)=3a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)=3a^2b^2c^2\)

\(\Rightarrow \text{TS}\geq \sqrt{3}abc\)

\(\Rightarrow P\geq \sqrt{3}\)

Vậy \(P_{\min}=\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

6 tháng 5 2018

Cách khác:

\(P^2=\dfrac{a^2b^2}{c^2}+\dfrac{b^2c^2}{a^2}+\dfrac{c^2a^2}{b^2}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(\dfrac{a^2b^2}{c^2}+\dfrac{b^2c^2}{a^2}\ge2b^2\)

CMTT\(\Rightarrow\)\(\dfrac{a^2b^2}{c^2}+\dfrac{b^2c^2}{a^2}+\dfrac{a^2c^2}{b^2}\ge a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow P^2\ge3\Rightarrow P\ge\sqrt{3}\)

Dấu"=" xảy ra\(\Leftrightarrow\)a=b=c=\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

25 tháng 2 2022

Ta có : \(9=a^2+a^2+b^2+a^2+b^2+bc+bc+c^2+c^2\ge9\sqrt[9]{a^6\cdot b^6\cdot c^6}=9\sqrt[3]{a^2\cdot b^2\cdot c^2}\Rightarrow abc\le1\) Áp dụng bđt Cô-si vào các số dương : \(a^2+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{a^2}{b^6}}=4\sqrt{\dfrac{a}{b^3}}\Rightarrow\sqrt{a^2+\dfrac{3}{b^2}}\ge2\cdot\sqrt[4]{\dfrac{a}{b^3}}\)  

CM tương tự ta được: \(\sqrt{b^2+\dfrac{3}{c^2}}\ge2\sqrt[4]{\dfrac{b}{c^3}};\sqrt{c^2+\dfrac{3}{a^2}}\ge2\sqrt[4]{\dfrac{c}{a^3}}\Rightarrow P\ge2\cdot\left(\sqrt[4]{\dfrac{a}{b^3}}+\sqrt[4]{\dfrac{b}{c^3}}+\sqrt[4]{\dfrac{c}{a^3}}\right)\ge2\cdot3\cdot\sqrt[12]{\dfrac{a}{b^3}\cdot\dfrac{b}{c^3}\cdot\dfrac{c}{a^3}}=6\sqrt[12]{\dfrac{1}{\left(abc\right)^2}}=6\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

25 tháng 2 2022

Em cám ơn thầy đã giúp đỡ ạ!

 

17 tháng 1 2021

Áp dụng bđt AM - GM:

\(P=3a+3b-1+\left[\left(a+1\right)+b+\dfrac{c^3}{b\left(a+1\right)}\right]\ge3a+3b-1+3c=3.5-1=14\).

Đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 2; c = 2.

Vậy Min P = 14 khi a = 1; b = 2; c = 2.

25 tháng 3 2018

\(P=\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}+\sqrt{\dfrac{bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}}+\sqrt{\dfrac{ca}{b\left(a+b+c\right)+ca}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}+\sqrt{\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)

\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{a+b}\right)=\dfrac{1}{2}\)

\("=" \Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

8 tháng 11 2019

§1. Bất đẳng thức

26 tháng 3 2017

Câu hỏi của Neet - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

22 tháng 6 2018

\(a+b+c=2\Rightarrow ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{4}{3}\)

\(P=\dfrac{7+2b}{1+a}+\dfrac{7+2c}{1+b}+\dfrac{7+2a}{1+c}\)

\(\ge\dfrac{\left(21+2\left(a+b+c\right)\right)^2}{\left(1+a\right)\left(7+2b\right)+\left(1+b\right)\left(7+2c\right)+\left(1+c\right)\left(7+2a\right)}\)

\(=\dfrac{25^2}{21+9\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{25^2}{21+9.2+\dfrac{2.4}{3}}=15\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)