Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do a,b,c có vai trò hoán vị vòng quang.Ta dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Ta có: \(A=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}=\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{9abc}\right)+\frac{8}{9abc}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+c^2+9abc}+\frac{8}{9abc}=\frac{4}{a^2+b^2+c^2+9abc}+\frac{4}{9abc}+\frac{4}{9abc}\)
\(\ge\frac{\left(2+2+2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+27abc}=\frac{36}{a^2+b^2+c^2+27abc}\) (Cauchy-Schwarz dạng Engel)
\(\ge\frac{36}{a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)^3}=\frac{36}{a^2+b^2+c^2+1}+\frac{a^2+b^2+c^2+1}{36}-\frac{a^2+b^2+c^2+1}{36}\)(Cô si kết hợp giả thiết a + b + c = 1)
\(\ge2-\frac{a^2+b^2+c^2+1}{36}\)
Tới đây bí:v
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
Cô-si Engel :
\(P=\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{a+b+c+6}=\frac{a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)}{a+b+c+6}\)
\(\ge\frac{a+b+c+2.3\sqrt[3]{\sqrt{ab}.\sqrt{bc}.\sqrt{ac}}}{a+b+c+6}=\frac{a+b+c+6\sqrt[3]{abc}}{a+b+c+6}=\frac{a+b+c+6}{a+b+c+6}=1\)
Nguyễn Linh Chi Thanks cô,e đổi biến lộn ạ:(
Đặt \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\)
Ta có:
\(P=\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\)
\(=\frac{1}{1+\frac{2}{a}}+\frac{1}{1+\frac{2}{b}}+\frac{1}{1+\frac{2}{c}}\)
\(=\frac{1}{1+\frac{2y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{2z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{2x}{z}}\)
\(=\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{y+2z}+\frac{z}{z+2x}\)
\(=\frac{x^2}{x^2+2xy}+\frac{y^2}{y^2+2yz}+\frac{z^2}{z^2+2zx}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)
Đề phải là : \(\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\left(x;y;z>0\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b^2}=\frac{y^2}{x};\frac{b}{c^2}=\frac{z^2}{y};\frac{c}{a^2}=\frac{x^2}{z};xyz=1\)
\(\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{\frac{2\left(a+b+c\right)}{abc}}\left(abc=1\right)=\frac{9}{2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)}=\frac{9}{2\left(xy+yz+xz\right)}\)
Khi đó , ta có : \(P=\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{9}{2\left(xy+yz+xz\right)}\)
\(=\frac{x^2}{z}+z+\frac{y^2}{x}+x+\frac{z^2}{y}+y+\frac{9}{2\left(xy+yz+xz\right)}-x-y-z\)
AD BĐT Cauchy , ta có :
\(P\ge2x+2y+2z+\frac{9}{\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3}}-\left(x+y+z\right)=x+y+z+\frac{27}{2\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{27}{2\left(x+y+z\right)^2}\ge3.\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{9}{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Áp dụng bdtd quen thuộc :
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Chứng minh bđt nha ( quên mất )
Áp dụng bđt Cauchy :
\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\end{cases}}\)
Nhân từng vế của 2 bđt ta được đpcm
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
\(M=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\)
\(M\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+ac+bc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{4}{2\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{7}{ab+ac+bc}\)
\(M\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{21}{\left(a+b+c\right)^2}=30\)
\(\Rightarrow M_{min}=30\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)