Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(2\left(b^2+bc+c^2\right)=2b^2+2c^2+2bc\le2b^2+2c^2+b^2+c^2=3\left(b^2+c^2\right)\Rightarrow b^2+c^2\le3-a^2\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le3\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\).
Áp dụng bđt Schwars ta có:
\(T\ge a+b+c+\dfrac{18}{a+b+c}=\left(a+b+c+\dfrac{9}{a+b+c}\right)+\dfrac{9}{a+b+c}\ge2\sqrt{9}+\dfrac{9}{3}=9\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Bài 1:
dự đoán dấu = sẽ là \(a^2=b^2=c^2=\dfrac{1}{2}\) nên cứ thế mà chém thôi .
Ta có: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\)
Bunyakovsky:\(\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\)
\(VT=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\left(1+c^2\right)\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)^2\)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
P/s: còn 1 cách khác nữa đó là khai triển sau đó xài schur . Chi tiết trong tệp BĐT schur .pdf
Áp dụng BĐt cô-si, ta có \(\frac{2\left(a+b\right)^2}{2a+3b}\ge\frac{8ab}{2a+3b}=\frac{8}{\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}\)
\(\frac{\left(b+2c\right)^2}{2b+c}\ge\frac{8bc}{2b+c}=\frac{8}{\frac{2}{c}+\frac{1}{b}}\)
\(\frac{\left(2c+a\right)^2}{c+2a}\ge\frac{8ac}{c+2a}\ge\frac{8}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\)
Cộng 3 cái vào, ta có
A\(\ge8\left(\frac{1}{\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{2}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\right)\ge8\left(\frac{9}{\frac{3}{b}+\frac{4}{c}+\frac{4}{a}}\right)=8.\frac{9}{3}=24\)
Vậy A min = 24
Neetkun ^^
\(P\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{9}{ab+bc+ca}\right)\)
\(P\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\right)\)
\(P\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}+\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}\right)=30\)
\(P_{min}=30\) khi \(a=b=c\)
\(P=\dfrac{a^4}{a^2b^2+a^2c^4}+\dfrac{b^4}{b^2c^2+a^2b^2}+\dfrac{c^4}{a^2+b^2}-\dfrac{12abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(P\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}-\dfrac{12abc}{2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}}\)
\(P\ge\dfrac{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}{2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}-\dfrac{3}{2}=0\)
\(P_{min}=0\) khi \(a=b=c\)
Đặt \(\dfrac{b}{a}=x;\dfrac{c}{b}=y\).
Ta có: \(P=\dfrac{1}{\left(\dfrac{a+b}{a}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{b+c}{b}\right)^2}+\dfrac{b}{a}.\dfrac{c}{b}.\dfrac{1}{4}\)
\(P=\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+1\right)^2}+\dfrac{xy}{4}\).
Ta có bđt quen thuộc: \(\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+1\right)^2}\ge\dfrac{1}{xy+1}\) (bạn xem cm ở đây).
Do đó \(P\ge\dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{xy+1}{4}-\dfrac{1}{4}\ge1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1 tức a = b = c.
Vậy...
BĐT phụ kia có 1 cách chứng minh rất hay mà không cần đến biến đổi tương đương với mũ to:
\(\dfrac{1}{\left(1.1+\sqrt{xy}.\sqrt{\dfrac{x}{y}}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1.1+\sqrt{xy}.\sqrt{\dfrac{y}{x}}\right)^2}\ge\dfrac{1}{\left(1+xy\right)\left(1+\dfrac{x}{y}\right)}+\dfrac{1}{\left(1+xy\right)\left(1+\dfrac{y}{x}\right)}=\dfrac{1}{1+xy}\)