K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
BH
Cho a, b, c > 0; a+b+c=3. Chứng minh
[(a+1):(b2+1)]+[(b+1):(c2+1)]+[(c+1):(a2+1)] lớn hơn hoặc bằng 3
1
T
24 tháng 10 2019
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{a+1}{b^2+1}=\Sigma_{cyc}\left(\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\right)\)
\(=\left(a+b+c+3\right)-\Sigma_{cyc}\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\)
\(\ge6-\Sigma_{cyc}\frac{b\left(a+1\right)}{2}=6-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)
\(\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b =c = 1
Is that true?
TT
0
20 tháng 6 2021
a) \(\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}=\sqrt{a^2+2}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}\ge2\sqrt{\sqrt{a^2+2}.\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}}=2\)
Dấu = xảy ra khi \(\sqrt{a^2+2}=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}\Leftrightarrow a^2=-1\left(vn\right)\)
\(\Rightarrow\) Dấu "=" không xảy ra
Vậy \(\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}>2\)
b)Với x,y>0,ta cm bđt phụ sau:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) (1)
Thật vậy (1)\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\cdot\left(x+y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)
Áp dụng (1) có:
\(\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{a}}=\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}.\sqrt{b}}\ge\dfrac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Dấu "=" xra khi a=b
Vậy...
Đk: a,b>0\(2=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-3ab\right]\ge\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2\right]\)
=\(\dfrac{\left(a+b\right)^3}{4}\)(BĐT cauchy)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3\le8\Leftrightarrow a+b\le2\)
dấu = xảy ra khi a=b=1
mà a,b >0 nên a+b >0
Kl:\(0< a+b\le2\)
cam on ban nha