HT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
3 tháng 9 2017
Hãy biến đổi từ: a³ + b³ + c³ = 3abc
<=> (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = 0
Hoặc a + b + c = 0
Hoặc (a² + b² + c² - ab - bc - ca) = 0
TH1: a + b + c = 0 => a = -(b + c); b = -( a + c); c = -( a + b)
=> A = [1 - (b +c)/b][1 - (a + c)/c][1 - (a + b)/a]
=> A =[1 - 1 - c/b][1 - 1 - a/c][1 - 1 - b/a]
=> A = (-c/b)(-a/c)(-b/a) = -1
TH2: (a² + b² + c² - ab - bc - ca) = 0 <=> (a - b)² +(b - c)² + (c - a)² = 0
=> a - b = b - c = c - a = 0 hay a = b = c
=> A = (1 + 1)(1 + 1)(1+ 1) = 8
<=> (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = 0
Hoặc a + b + c = 0
Hoặc (a² + b² + c² - ab - bc - ca) = 0
TH1: a + b + c = 0 => a = -(b + c); b = -( a + c); c = -( a + b)
=> A = [1 - (b +c)/b][1 - (a + c)/c][1 - (a + b)/a]
=> A =[1 - 1 - c/b][1 - 1 - a/c][1 - 1 - b/a]
=> A = (-c/b)(-a/c)(-b/a) = -1
TH2: (a² + b² + c² - ab - bc - ca) = 0 <=> (a - b)² +(b - c)² + (c - a)² = 0
=> a - b = b - c = c - a = 0 hay a = b = c
=> A = (1 + 1)(1 + 1)(1+ 1) = 8
6 tháng 4 2023
a+b+c=1; a>0; b>0; c>0
=>a>=b>=c>=0
=>a(a-c)>=b(b-c)>=0
=>a(a-b)(a-c)>=b(a-b)(b-c)
=>a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)>=0
mà (a-c)(b-c)*c>=0 và c(c-a)(c-b)>=0
nên a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+(a-c)(b-c)*c>=0
=>a^3+b^3+c^3+3acb>=a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2b+c^2a
=>a^3+b^3+c^3+6abc>=(a+b+c)(ab+bc+ac)
=>a^3+b^3+c^3+6abc>=(ab+bc+ac)
mà a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
nên 2(a^3+b^3+c^3)+3acb>=a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac(ĐPCM)
HT
0
ND
2
27 tháng 9 2023
Ta có \(a^4+b^4\ge2a^2.b^2\) (Bất đẳng thức Cô si với \(a^2;b^2\ge0\) )
Tương tự \(b^4+c^4\ge2b^2.c^2;a^4+c^4\ge2a^2.c^2\)
Do đó: \(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2}{2}=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\)(1)
Ta lại có:\(a^2b^2+b^2c^2\ge2ab^2c;b^2c^2+a^2c^2\ge2abc^2;a^2c^2+a^2b^2\ge2a^2bc\)
Nên\(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge a^2bc+ab^2c+abc^2=abc\left(a+b+c\right)=3abc\left(a+b+c=3,gt\right)\)
(1);(2) => \(a^4+b^4+c^4\ge3abc\) ;đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 (*)
Giả sử: \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3-3ab\left(a+b+c\right)-3c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2-ab-bc-ac\right]\ge0\\2.3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\ge0\\
\Leftrightarrow3\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)\ge0\\\Leftrightarrow3\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]\ge0\)
Đúng mới mọi a,b,c ϵR
Vậy \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) và đẳng thức xảy ra khi a=b=c=(a+b+c)/3 =1(**)
Ta lại có \(a^4\ge a^3;b^4\ge b^3;c^4\ge c^3\) mà a+b+c = 3
Nên \(a^4+b^4+c^4>a^3+b^3+c^3\) (***)
Từ (*);(**);(***) ta có điều phải chứng minh và đẳng thức xảy ra khi a= b=c=1
18 tháng 4
Tôi có cách chứng minh bằng đồng bậc hóa bất đẳng thức như sau:
ta sẽ chứng minh:
\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)>=\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
<=> \(2\left(a^4+b^4+c^4\right)>=ab\left(a^2+b^2\right)+bc\left(b^2+c^2\right)+ca\left(c^2+a^2\right)\)
mà ta có theo bất đẳng thức AMGM \(a^4+b^4>=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}>=\dfrac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}=ab\left(a^2+b^2\right)\)
làm tương tự rồi cộng lại, ta có đpcm.
13 tháng 7 2022
a: \(A=\left(a+b+c\right)^2+\left(a-b+c\right)^2+\left(a+b-c\right)^2+\left(b+c-a\right)^2\)
\(=2\left(a+c\right)^2+2b^2+\left(a+b-c\right)^2+\left(a-b-c\right)^2\)
\(=2\left(a+c\right)^2+2b^2+2\left(a-c\right)^2+2b^2\)
\(=2\left(a^2+2ac+c^2+a^2-2ac+c^2\right)+4b^2\)
\(=2\left(2a^2+2c^2\right)+4b^2\)
\(=4a^2+4b^2+4c^2\)
b: \(\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b-c\right)^2-2\left(a+b\right)^2\)
\(=2\left(a+b\right)^2+2c^2-2\left(a+b\right)^2\)
\(=2c^2\)