Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}=\frac{a^3}{a^2+abc}+\frac{b^3}{b^2+abc}+\frac{c^3}{c^2+abc}\)
\(=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ca}+\frac{b^3}{b^2+ab+bc+ca}+\frac{c^3}{c^2+ab+bc+ca}\)
\(=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}+\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}\)
đến đây áp dụng cô si 3 số là đc
Lời giải:
Áp dụng hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
$3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2$
$1=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}$
Do đó:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ac}\geq \frac{(1+1+1+1)^2}{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ac)}=\frac{16}{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}\)
\(\geq \frac{16}{(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{12}{(a+b+c)^2}=12\)
\(\frac{2}{3ab}+\frac{2}{3bc}+\frac{2}{3ac}=\frac{2}{3}.\frac{a+b+c}{abc}=\frac{2}{3abc}\geq \frac{2}{3.\frac{1}{27}}=18\)
Cộng 2 BĐT trên lại:
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geq 12+18=30\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Lời giải:
Áp dụng hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
$3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2$
$1=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}$
Do đó:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ac}\geq \frac{(1+1+1+1)^2}{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ac)}=\frac{16}{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}\)
\(\geq \frac{16}{(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{12}{(a+b+c)^2}=12\)
\(\frac{2}{3ab}+\frac{2}{3bc}+\frac{2}{3ac}=\frac{2}{3}.\frac{a+b+c}{abc}=\frac{2}{3abc}\geq \frac{2}{3.\frac{1}{27}}=18\)
Cộng 2 BĐT trên lại:
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geq 12+18=30\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
\(\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{a^2+abc}=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Áp dụng BĐT cosi
\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)
Tương tự
=> \(A\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)\)
Lại có \(\left(a+b+c\right)\ge\frac{9}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{9}{1}=9\)
=> \(A\ge\frac{9}{4}\)
MinA=9/4 khi a=b=c=3
a)\(VT=\sum_{cyc}\frac{ab^3+ab^2c+a^2bc}{\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)}\le\frac{\sum_{cyc}\left(ab^3+ab^2c+a^2bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)\(\le\frac{\sum_{cyc}ab\left(a^2+b^2\right)+abc\left(a+b+c\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=VP\)
a) Ta có BĐT:
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)ab\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự cho 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=VP\)
Khi \(a=b=c\)
Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. CMR: \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{3}{2}\)
Ta có : a + bc = a ( a + b + c ) + bc = ( a + c ) ( a + b )
BĐT cần chứng minh tương đương với :
\(\frac{a\left(a+b+c\right)-bc}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{b\left(a+b+c\right)-ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{c\left(a+b+c\right)-ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\le\frac{3}{2}\)
\(\left(a^2+ab+ac-bc\right)\left(b+c\right)+\left(ab+b^2+bc-ac\right)\left(a+c\right)+\left(ac+bc+c^2-ab\right)\left(a+b\right)\le\frac{3}{2}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
khai triển ra , ta được :
\(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2+6abc\le\frac{3}{2}\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\right)+3abc\)
\(\Rightarrow\frac{-1}{2}\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\right)\le-3abc\)
\(\Rightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\ge6abc\)( nhân với -2 thì đổi dấu )
\(\Rightarrow b\left(a^2-2ac+c^2\right)+a\left(b^2-2bc+c^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow b\left(a-c\right)^2+a\left(b-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\)
vì BĐT cuối luôn đúng nên BĐT lúc đầu đúng
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{3}\)