Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) \(21x^2+21y^2+z^2\)
\(=18\left(x^2+y^2\right)+z^2+3\left(x^2+y^2\right)\)
\(\ge9\left(x+y\right)^2+z^2+3.2xy\)
\(\ge2.3\left(x+y\right).z+6xy\)
\(=6\left(xy+yz+zx\right)=6.13=78\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y ; 3(x+y) = z; xy + yz + zx= 13 <=> x = y = 1; z= 6
2) \(x+y+z=3xyz\)
<=> \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=3\)
Đặt: \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)=> ab + bc + ca = 3
Ta cần chứng minh: \(3a^2+b^2+3c^2\ge6\)
Ta có: \(3a^2+b^2+3c^2=\left(a^2+c^2\right)+2\left(a^2+c^2\right)+b^2\)
\(\ge2ac+\left(a+c\right)^2+b^2\ge2ac+2\left(a+c\right).b=2\left(ac+ab+bc\right)=6\)
Vậy: \(\frac{3}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{z^2}\ge6\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = c = \(\sqrt{\frac{3}{5}}\); \(b=2\sqrt{\frac{3}{5}}\)
khi đó: \(x=z=\sqrt{\frac{5}{3}};y=\sqrt{\frac{5}{3}}\)
Câu 1: \(x^2+\frac{1}{x^2}-4x-\frac{4}{x}+6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-4\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0\)
\(\text{Đặt a = }x+\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow a^2=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2.x.\frac{1}{x}+\left(\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}\)
\(\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2\)
Thay vào phương trình ta có:
\(\left(a^2-2\right)-4a+6=0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2-4a+4=0\)
\(\Leftrightarrow a^2-4a+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a-2=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}-2=0\)\(ĐKXĐ:x\ne0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+1-2x}{x}=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x-1=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
Vậy x=1
b) \(\left(1+a\right).\frac{1}{1+b^2}=\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)
\(\ge\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=1+a-\frac{ab+b}{2}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế được:
\(VT\ge6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3}{2}\)
\(=6-\frac{3+3}{2}=3^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
Ta có: \(a^2+b^2=a+b\Leftrightarrow4a^2+4b^2=4a+4b\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4a+4b^2-4b=0\Leftrightarrow\left(4a^2-4a+1\right)+\left(4b^2-4a+1\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2+\left(2b-1\right)^2=2\)
Áp dụng BĐT: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
\(\Rightarrow\left(2a-1\right)^2+\left(2b-1\right)^2\ge\frac{\left(2a+2b-2\right)}{2}\)
\(\Rightarrow2\ge\frac{\left(2a+2b-2\right)^2}{2}\Leftrightarrow4\ge\left(2a+2b-2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow1\ge a+b-1\Leftrightarrow4\ge a+b+2\)
Nhận thấy: \(S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}=\left(1-\frac{1}{a+1}\right)+\left(1-\frac{1}{b+1}\right)\)
\(=2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\)
Ta áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+2}\Rightarrow2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\le2-\frac{4}{a+b+2}\)
Do \(a+b+2\le4\)(cmt) \(\Rightarrow\frac{4}{a+b+2}\ge1\Rightarrow2-\frac{4}{a+b+2}\le1\)
Từ đó: \(S=2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\le2-\frac{4}{a+b+2}\le1\)
Suy ra \(Max\) \(S=1\).
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1.\)
a, Ở phân số tử là a đầu tiên, thì nhân cả tử và mẫu cho c. Ở phân số thứ 2 có tử là b, nhân với ac, còn phân số còn lại giữ nguyên. Thì bạn sẽ có 3 phân số cùng mẫu nhé :3 Xong công vào ra 1 ^^
b, Viết bình phương (x+y+z)^2= bla blo :v Xong thay giữ kiện xy +yz+zx = 1 vào là done. Xong để có 10x^2+10y^2+z^2 thì dễ rồi nhé ^^
a. Câu hỏi của Nguyễn Văn An - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath