TH
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
29 tháng 9 2017
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:
\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\ge\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{2a+b+c}\ge\frac{2}{a+b+2c};\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{2}{2a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT=\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+3b}\)
\(\ge\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}=VP\)
22 tháng 1 2018
dự đoán của chúa Pain A=B=C=1 thế thôi éo nói nhiều làm j :)
áp dụng cô si ta có
\(\frac{3}{a+b+c}+\frac{\left(a+b+C\right)}{3}\ge2\sqrt{\frac{3.\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right).3}}=2.\)
ÁP DỤNG co si tiếp tao có \(\frac{2}{abc}+2abc\ge2\sqrt{\frac{4abc}{abc}=}=4\)
theo cô si ta có \(a+B+c\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\frac{9}{a+b+c}\ge2\sqrt{3}+4\)
\(3.\left\{\frac{3}{\left(a+b+c\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)}{3}\right\}\ge3.\left\{2\sqrt{\frac{3\left(a+b+c\right)}{3\left(a+b+c\right)}}\right\}=6\)
từ 1 và 2 ta được
\(6\ge2+4\)
bây giờ mày thử ấn máy tính đi xem 2+4= bao nhiêu rồi tích cho tao nhé xDDDDD
22 tháng 1 2018
bạn ơi cái chỗ \(\frac{9}{a+b+c}\ge2\sqrt{3}+4.\) là t viết nhầm nhé sủa lại thành \(\frac{9}{a+b+c}\ge2+4\) nhé
ML
9 tháng 8 2016
a
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)
Tương tự với 2 cụm còn lại, cộng theo vế và thu gọn sẽ được đpcm.
b
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+b^2}\le\frac{a}{2ab}=\frac{1}{2b}\)
Tương tự với 2 cụm còn lại, cộng theo vế là được đpcm.
20 tháng 3 2020
BĐT phụ:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true\right)\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ( đpcm )
Vậy.......
S
26 tháng 5 2017
2) \(VT=\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\right)+3\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
Xét \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\) (1)
Xét \(3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{9}{2}+\frac{3}{2}=6\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 2 2017
Áp dụng BĐT Cauchy -Schwarz dạng cộng mẫu thôi:
\(\text{VT}=\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d}\geq \frac{(1+1+2+4)^2}{a+b+c+d}=\frac{64}{a+b+c+d}=\text{VP}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=\frac{c}{2}=\frac{d}{4}>0\)
DT
2
8 tháng 1 2019
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\ge9abc\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số được
\(\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\ge3\sqrt[3]{ab.bc.ca}.3\sqrt[3]{abc}=9abc\left(Đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
T
9 tháng 1 2019
Cách thông dụng nè:
Theo BĐT Cô si cho 3 số:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) (1)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (2)
Nhân theo vế (1) và (2),ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\)
Chia cả hai vế của BĐT cho a + b + c,ta được: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}^{\left(đpcm\right)}\)
22 tháng 2 2017
áp dụng bđt \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)(bđt svacxo) ta có :
VT= \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\ge\frac{\left(1+1+2+4\right)^2}{a+b+c+d}\)= \(\frac{64}{a+b+c+d}\)=VP (đpcm)
dấu = xảy ra <=>a=b=1; c=2 ; d=4
22 tháng 2 2017
Dễ dàng CM BĐT phụ sau: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b},\forall a,b>0\)
Áp dụng liên tục ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\ge4.\frac{4}{a+b+c}+\frac{16}{d}\ge16.\frac{4}{a+b+c+d}=\frac{64}{a+b+c+d}\)
dấu = xảy ra <=> a+b=c, a+b+c=d, a=b
ĐPCM
T
5 tháng 12 2019
Lời giải
Ta có: \(\left(a+b+\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16}\left(4a+4b-1\right)^2+\left(a+b\right)\ge a+b\)
Tương tự: \(\left(b+c+\frac{1}{4}\right)^2\ge b+c;\left(c+a+\frac{1}{4}\right)^2\ge c+a\)
Như vậy: \(L.H.S\left(VT\right)\ge\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)=\left(\frac{1}{\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{b}}\right)+\left(\frac{1}{\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}}\right)+\left(\frac{1}{\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{a}}\right)\)
\(\ge4\left(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}\right)=R.H.S\left(VP\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{8}\). Ta có đpcm.
N
5 tháng 12 2019
khác cách tth xíu
Ta có:
\(VP=\Sigma_{cyc}\frac{4}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\Sigma_{cyc}\frac{4}{\frac{4}{a+b}}=2\left(a+b+c\right)\)
Gio ta di chung minh
\(VT\ge2\left(a+b+c\right)\)
Ta lai co:
\(VT=\Sigma_{cyc}\left(a+b+\frac{1}{4}\right)^2\ge\frac{\left[2\left(a+b+c\right)+\frac{3}{4}\right]^2}{3}\)
Chung minh
\(\frac{\left[2\left(a+b+c\right)+\frac{3}{4}\right]^2}{3}\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[2\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}\right]^2\ge0\) (đúng)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=\frac{1}{8}\)
Theo BĐT Cô si,ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (1)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) (2)
Nhân theo vế (1) và (2),ta có:\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Chia cả hai vế cho abc,ta được: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}^{\left(đpcm\right)}\)
Hoặc:
Áp dụng BĐT: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\).Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}=\frac{2^2}{a+b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(2+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}^{\left(đpcm\right)}\) (BĐT Svac)