Question

[EnderCraft Gaming]

Cho 2013 số dương sao cho 4 số khác nhau bất kì trong chúng đều lập thành 1 tỉ lệ thức . Chứng minh rằng trong các số đã cho luôn tồn tại ít nhất 504 số bằng nhau

Answer 1

[Trí Tiên亗]

Ta chứng minh trong 2013 số nguyên dương đã cho chỉ nhận nhiều nhất 4 giá tri khác nhau.

Thật vậy giả sử trong các số đã cho có nhiều hơn 4 chữ số khác nhau, giả sử \(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\) là 5 số khác nhau bất kì. Không mất tính tổng quát ta giả sử :

 \(a_1< a_2< a_3< a_4< a_5\left(1\right)\)

Theo bài ra ta có : \(a_1a_2=a_3a_4\left(2\right)\) 

Theo (1) không xảy ra  \(a_1a_2=a_3a_4\) hoặc \(a_1a_3=a_2a_4\)

Tương tự 4 số khác nhau  \(a_1,a_2,a_3,a_5\) thì \(a_1a_5=a_2a_3\left(3\right)\)

Từ (2) và (3) suy ra \(a_4=a_5\).Mâu thuẫn.

Vậy trong 2013 số nguyên dương đã cho không thể có hơn 4 số khác nhau. Mà \(2013=4.503+1\)

Do đó trong 2013 số tự nhiên dương đã cho luôn tìm được ít nhất \(503+1=504\) số bằng nhau.