K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

13 tháng 1 2021

Gọi D là giao điểm thứ hai của AC với (O).

Khi đó \(\widehat{BAD}=90^o\) nên BD là đường kính của (O), do đó B, O, D thẳng hàng.

Kẻ AE // BD \((E\in BD)\).

Ta có \(\widehat{DAO}=\widehat{CAO'}\) mà các tam giác DAO và CAO' cân lần lượt tại O và O' nên \(\widehat{ODA}=\widehat{O'CA}\). Từ đó OD // O'C.

Theo định lý Thales: \(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AO}{AO'}=\dfrac{R}{R'}\Rightarrow\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{R'}{R+R'}\).

Mặt khác cũng theo định lý Thales: \(\dfrac{AE}{BD}=\dfrac{CA}{CD}\Rightarrow\dfrac{AE}{2R}=\dfrac{R'}{R+R'}\Rightarrow AE=\dfrac{2RR'}{R+R'}\RightarrowẠH\le AE=\dfrac{2RR'}{R+R'}\) không đổi.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(E\equiv H\), tức BC vuông góc với BD hay BC là tiếp xúc với (O) tại B.

4 tháng 5 2020

B C A O O' P M N P' H 1 2 1

4 tháng 5 2020

a) Ta có : \(\widehat{MOA}=\widehat{O_1}'\left(=180^o-2\widehat{A_1}\right)\)

\(\Rightarrow\)O'N // OM

Gọi P là giao điểm của MN và OO'

Ta có : \(\frac{O'P}{OP}=\frac{O'N}{OM}=\frac{R'}{R}\)

gọi P' là giao điểm của BC và OO',ta có :

\(\frac{O'P'}{OP'}=\frac{O'C}{OB}=\frac{R'}{R}\)

Suy ra \(P'\equiv P\)

b) gọi H là hình chiếu của O' trên OM

tứ giác MNO'O là hình thang nên \(S=\frac{\left(OM+O'N\right)O'H}{2}\)

\(S=\frac{R+R'}{2}.O'H\le\frac{R+R'}{2}.OO'=\frac{\left(R+R'\right)^2}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(H\equiv O\Leftrightarrow OM\perp OO'\)

Vậy ...

BD//CE

Ax là tiếp tuyến

=>Ax//BD//CE

=>Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔOIO' nằm trên Ax

=>BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔOIO'

21 tháng 1 2021

Gọi B', C' lần lượt là giao điểm khác A của AB, AC với (O').

Do BM, CM là tiếp tuyến của (O') nên ta dễ dàng chứng minh được:

\(BM^2=BA.BB'\)\(CM^2=CA.CC'\)

\(\Rightarrow\dfrac{BM^2}{CM^2}=\dfrac{BA.BB'}{CA.CC'}\). (1) 

\(\Delta AOC\sim\Delta AO'C'(g.g)\Rightarrow \frac{AC}{AC'}=\frac{AO}{AO'}\).

Tương tự, \(\frac{AB}{AB'}=\frac{AO}{AO'}\).

Do đó \(\dfrac{AB}{AB'}=\dfrac{AC}{AC'}\Rightarrow\dfrac{AB}{BB'}=\dfrac{AC}{CC'}\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BB'}{CC'}\). (2)

Từ (1), (2) suy ra \(\dfrac{BM}{CM}=\dfrac{AB}{AC}\).

Theo tính chất đường phân giác đảo thì AM là đường phân giác ngoài của tam giác ABC

\(\Rightarrow\widehat{MAB}+\widehat{MAC}=180^o\Rightarrow180^o+\widehat{BAC}=2\widehat{EAC}\)

\(\Rightarrow180^o-\widehat{EAC}=\dfrac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\). (3) 

Các tứ giác FDEA, DBAC nội tiếp nên \(\widehat{FDB}=180^o-\widehat{EAC};\widehat{BDC}=180^o-\widehat{BAC}\). (4)

Từ (3), (4) suy ra \(\widehat{FDB}=\dfrac{\widehat{BDC}}{2}\) nên DF là phân giác góc BDC.