Question

[NGÔ THỊ QUỲNH HOA]

Câu 4: 
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao điểm BE và CD. Chứng minh rằng:
1) ΔΑΒΕ = ADC
2) DE = BE

Answer 1

[Kiều Vũ Linh]

a) \(\Delta ABD\) đều (gt)

\(\Rightarrow\widehat{DAB}=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{DAB}+\widehat{BAC}=60^0+90^0=150^0\)

\(\Delta ACE\) đều (gt)

\(\Rightarrow CAE=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{EAB}=\widehat{CAE}+\widehat{BAC}=60^0+90^0=150^0\)

\(\Rightarrow\widehat{EAB}=\widehat{DAC}=150^0\)

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ADC\) có:

\(AB=AD\) (do \(\Delta ABD\) đều)

\(\widehat{EAB}=\widehat{DAC}\left(cmt\right)\)

\(AE=AC\) (do \(\Delta ACE\) đều)

\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta ADC\left(c-g-c\right)\)

b) Gọi \(F\) là giao điểm của \(CA\) và \(DE\)

Ta có:

\(\widehat{FAD}=\widehat{FAB}-\widehat{DAB}=\widehat{CAB}-\widehat{DAB}=90^0-60^0=30^0\)

\(\widehat{EAF}+\widehat{CAE}=180^0\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{EAF}=180^0-\widehat{CAE}=180^0-60^0=120^0\)

\(\Rightarrow\widehat{EAD}=\widehat{EAF}+\widehat{FAD}=120^0+30^0=150^0\)

\(\Rightarrow\widehat{EAD}=\widehat{EAB}=150^0\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABE\) có:

\(AD=AB\left(cmt\right)\)

\(\widehat{EAD}=\widehat{EAB}\left(cmt\right)\)

\(AE\) là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta ADE=\Delta ABE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow DE=BE\) (hai cạnh tương ứng)