Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
$(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$
$\Leftrightarrow 3x^2-2x(a+b+c)+(ab+bc+ac)=0$
Ta thấy:
$\Delta'=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$
$=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0$ với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$
$\Rightarrow$ PT đã cho luôn có nghiệm với mọi $a,b,c$
pt <=> \(x^2-ax-bx+ab+x^2-bx-cx+bc+x^2-cx-ax+ac=0\)
<=> \(3x^2-2x\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ac\right)=0\)
Có : \(\Delta'=\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ac\right)\)
<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) với mọi a ; b; c
\(\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3x^2-2bx-2ax-2cx+ab+bc+ac=0\)
\(\Leftrightarrow3x^2-2.\left(a+b+c\right).x+ab+bc+ac=0\)
Ta có: \(\Delta=\left[-2\left(a+b+c\right)\right]^2-4.3.\left(ab+bc+ac\right)\)
\(=4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4bc-4ac\)
\(=\left(2a^2-4ab+2b^2\right)+\left(2b^2-4bc+2c^2\right)+\left(2c^2-4ac+2a^2\right)\)
\(=2.\left(a-b\right)^2+2\left(b-c\right)^2+2\left(c-a\right)^2\ge0\)
=>PT luôn luôn có nghiệm
Vậy PT trên luôn có nghiệm với mọi a,b,c
\(a,\Delta=4\left(m-1\right)^2-4\left(-2m-3\right)=4m^2-8m+4+8m+12\\ \Delta=4m^2+16>0\left(đpcm\right)\\ b,\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\left(2m-2\right)=4m^2-4m+1-8m+8\\ \Delta=4m^2-12m+9=\left(2m-3\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\\ c,Sửa:x^2-2\left(m+1\right)x+2m-2=0\\ \Delta=4\left(m+1\right)^2-4\left(2m-2\right)=4m^2+8m+4-8m+8\\ \Delta=4m^2+12>0\left(đpcm\right)\\ d,\Delta=4\left(m+1\right)^2-4\cdot2m=4m^2+8m+4-8m\\ \Delta=4m^2+4>0\left(đpcm\right)\\ e,\Delta=4m^2-4\left(m+7\right)=4m^2-4m+7=\left(2m-1\right)^2+6>0\left(đpcm\right)\\ f,\Delta=4\left(m-1\right)^2-4\left(-3-m\right)=4m^2-8m+4+12+4m\\ \Delta=4m^2-4m+16=\left(2m-1\right)^2+15>0\left(đpcm\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^2-2\left(a+b+c\right)x+ab+bc+ca=0\)
Pt có nghiệm kép khi và chỉ khi:
\(\Delta'=\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(b-c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c\)