Question

[Đậu Thị Tường Vy]

Bài 1. Tìm x, y thỏa mãn: x² - y² - 2x - 4y + 5 = 0
Bài 2. Cho a, b, c thỏa mãn a( a - b ) + b( b - c ) + c( c - a ) = 0
Tìm GTNN của P = a³ + b³ + c³ - 3abc + 3ab - 3c + 5
Bài 3. Tìm x, y, z thỏa mãn: x² + 4y² + z² = 2x + 12y - 4z - 14
Bài 4. Cho x² + x - 3 = 0. Tính P = \(x^2+\frac{9}{x^2}\)
Bài 5. Cho x² + y² + z² = xy + yz + zx và x + y + z = -3
Tính A = x²⁰¹⁷ + y²⁰¹⁸ + z²⁰¹⁹
Bài 6. Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + z = x² + y² + z² = x³ + y³ + z³ = 1
Tính P = ( x - 1 )¹⁸ + ( y - 1 )⁹ + ( z - 1 )¹⁹⁹⁷
Bài 7. Cho a, b thỏa mãn 4a² + 2b² + 4ab - 4a - 6b + 1 = 0
Tìm GTNN của P = 2a + b
Bài 8. Tìm GTNN của:
a) P = x² + 3y² - 2xy + 2x - 4y + 5
b) Q = x⁴ - x² + 2x + 1999
Bài 9. Tìm GTLN của x thỏa mãn: x² + 4y² - 4y = 15

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1:

\(x^2+y^2-2x-4y+5=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=0\)

Vì $(x-1)^2; (y-2)^2\geq 0$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì $(x-1)^2=(y-2)^2=0$

$\Rightarrow x=1; y=2$

Vậy...........

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 2:

Ta có:

\(a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0\)

\(\Leftrightarrow 2a(a-b)+2b(b-c)+2c(c-a)=0\)

\(\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\)

Lập luận tương tự bài 1, ta suy ra :

\((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Rightarrow a=b=c\)

Khi đó, thay $b=c=a$ ta có:

\(P=a^3+b^3+c^3-3abc+3ab-3c+5\)

\(=3a^3-3a^3+3a^2-3a+5=3a^2-3a+5\)

\(=3(a^2-a+\frac{1}{4})+\frac{17}{4}=3(a-\frac{1}{2})^2+\frac{17}{4}\geq \frac{17}{4}\)

Vậy $P_{\min}=\frac{17}{4}$

Giá trị này đạt được tại $b=c=a=\frac{1}{2}$