Question

[Beyond The Scence]

• Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  \(K=x^2+x+1\) 
• Bài 2: Cho \(a+b+c=0\)và \(a^2+b^2+c^2=2\). Tính \(P=a^4+b^4+c^4\). 
• Bài 3: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Chứng minh rằng: \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\).
• Bài 4: Cho \(\Delta ABC\)và ba đường cao \(AD,BE,CF\)cắt nhau tại \(H\). Chứng minh rằng \(H\)là giao điểm ba đường phân giác góc trong \(\Delta DEF\).

Mình cần gấp lắm ạ. Cám ơn!

Answer 1

[Đinh quang hiệp]

bài 1 

\(K=x^2+x+1=x^2+2\cdot\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>=\frac{3}{4}\)

dấu = xảy ra khi \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=0\Rightarrow x+\frac{1}{2}=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\)

vậy min của K là 3/4 tại x=-1/2

bài 2

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0^2=0\)

\(\Rightarrow2+2ab+2ac+2bc=0\Rightarrow2ab+2ac+2bc=-2\Rightarrow ab+ac+bc=-1\)

\(\left(ab+ac+bc\right)^2=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\)

\(=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=\left(-1\right)^2=1\)

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2=a^4+b^4+c^4+2=2^2=4\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\)