Question

[NGUYỄN MAI HUYỀN]

Bài 1 : Cho hình chữ nhật ABCD . Có\(BE\perp AC\) tại E . I là trung điểm AE .M là trung điểm CD

a) Gọi H là trung điểm BE .CMR :CH//IM

b) Tính số đo góc BIM

Bài 2 : Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A . Đường cao AH . Kẻ \(HD\perp AB\) , \(HE\perp AC\) .CMR :

a) Góc C = góc ADE

b) M là trung điểm BC . CMR : \(AM\perp DE\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1:

a)

Xét tam giác $AEB$ có $I$ là trung điểm $AE$, $H$ là trung điểm $BE$ nên $IH$ là đường trung bình của tam giác $AEB$ ứng với cạnh $AB$

\(\Rightarrow IH\parallel AB; IH=\frac{AB}{2}\)

Mà \(AB=CD, AB\parallel CD\) nên \(IH\parallel CD\parallel MC; IH=\frac{CD}{2}=MC\)

Như vậy, tứ giác $IHCM$ có cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên $IHCM$ là hình bình hành. Do đó \(IM\parallel CH\)

b) \(\left\{\begin{matrix} IH\parallel CD\\ CD\perp BC\end{matrix}\right.\Rightarrow IH\perp BC\)

Xét tam giác $IBC$ có \(BH\perp IC, IH\perp BC\) nên $H$ là trực tâm tam giác $IBC$

\(\Rightarrow CH\perp IB\). Mà \(IM\parallel CH\Rightarrow IM\perp IB\Rightarrow \widehat{BIM}=90^0\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 2:

a) Xét tứ giác $ADHE$ có \(\widehat{HDA}=\widehat{DAE}=\widehat{HEA}=90^0\) nên $ADHE$ là hình chữ nhật

\(\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{AHE}\)

Mà \(\widehat{AHE}=90^0-\widehat{EHC}=\widehat{HCE}=\widehat{C}\)

Suy ra \(\widehat{ADE}=\widehat{C}\)

b)

Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ với $DE$

Vì $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông $ABC$ nên \(AM=\frac{BC}{2}=AM\Rightarrow \triangle ABM\) cân tại $M$

\(\Rightarrow \widehat{IAD}=\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)

Mà \(\widehat{MBA}=90^0-\widehat{C}=90^0-\widehat{ADE}=90^0-\widehat{ADI}\) (theo kết quả phần a)

\(\Rightarrow \widehat{IAD}=90^0-\widehat{ADI}\)

\(\Rightarrow \widehat{IAD}+\widehat{ADI}=90^0\Rightarrow \widehat{AID}=90^0\)

Do đó: \(AI\perp DI\) hay \(AM\perp DE\) (đpcm)