![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu hỏi của Đoàn Minh Vũ - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 \(\Rightarrow\)p là số lẻ
Đặt \(p=2k+1\left(k\inℕ,k>1\right)\)
\(\Rightarrow\left(p+2019\right)\left(p+2011\right)=\left(2k+1+2019\right)\left(2k+1+2011\right)\)
\(=\left(2k+2020\right)\left(2k+2012\right)=4\left(k+1010\right)\left(k+1006\right)⋮4\)
Câu hỏi của Đoàn Minh Vũ - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ lẻ. Do đó $p=4k+1$ hoặc $p=4k+3$ với $k$ là số tự nhiên.
Nếu $p=4k+1$ thì $(p-1)(p+13)=4k(4k+14)=8k(2k+7)\vdots 8$
Nếu $p=4k+3$ thì $(p-1)(p+13)=(4k+2)(4k+16)=8(2k+1)(k+4)\vdots 8$
Vậy $(p-1)(p+13)\vdots 8$ với mọi $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ (1)
Mặt khác:
Vì $p>3, p$ nguyên tố nên $p$ chia $p=3m+1$ hoặc $p=3m+2$ với $m$ tự nhiên.
Nếu $p=3m+1$ thì $p-1=3m\vdots 3\Rightarrow (p-1)(p+13)\vdots 3$
Nếu $p=3m+2$ thì $p+13=3m+15\vdots 3\Rightarrow (p-1)(p+13)\vdots 3$
Vậy $(p-1)(p+13)\vdots 3$ với mọi $p$ nguyên tố > 3 (2)
Từ $(1); (2)$ mà $(3,8)=1$ nên $(p-1)(p+13)\vdots 24$ (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 \(\Rightarrow\) p không chia hết cho 3
p2 không chia hết cho 3 ⇒ p2 không chia hết cho 24;
Vậy không tồn tại số nguyên tố nào thỏa mãn đề bài.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vì p là số nguyên tố >3 nên p là số lẻ
→ 2 số p-2,p+1 là 2 số chẵn liên tiếp
→(p-2)(p+1) ⋮ cho 8 (1)
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
→ p=3k+1 hoặc p=3k+2 (k thuộc N*)
+)Với p=3k+1 → (p-2)(p+1)=3k(3k+2) ⋮ cho 3 (*)
+) Với p=3k+2 → (p-2)(p+1)=(3k-1).3.(k+1) ⋮ 3 (**)
Từ (*) và (**) →(p-2)(p+1) ⋮ 3 (2)
Vì (8;3)=1 → từ (1) và (2) => (p-2)(p+1) ⋮ 24
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
tất nhiên câu a là hợp số rồi!
vì nếu n=3k+1 thì n^2 + 2006=9k^2+6k+2007 chia hết cho 3
nếu n=3k+2 thì n^2 + 2006=9k^2+12k+2010 chia hết cho 3
làm tương tự câu a thì cũng đc (p+5)x(p+7) chia hết cho 3 thôi!
nếu p=4k+1 thì (p+5)x(p+7)=(4k+6)x(4k+8) chia hết cho 8
nếu p=4k+3 tương tự.
=> (p+5)x(p+7) chia hết cho 8
do UCNN(8,3)=1 => đpcm
p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p chia hết cho 3, p chia 3 dư 1, p chia 3 dư 2
bạn xét từng trường hợp của p rồi thay vào là được
+) p là số nguyên tố lớn hơn 3
=> p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2
Với p = 3k + 1 ta có: ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) = ( 3k + 2010) ( 3k + 2012 ) = 3( k + 670 ) ( 3k + 2012 ) \(⋮\)3
Với p = 3k + 2 ta có: ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) = ( 3k + 2011) ( 3k + 2013) = 3( 3k + 2011 ) ( k + 671 ) \(⋮\)3
=> ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) \(⋮\)3 (1)
+) p là số nguyên tố lớn hơn 4
=> p có dạng 4k + 1 hoặc 4k + 3
Với p = 4k + 1 ta có: ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) = ( 4k + 2010) ( 4k + 2012 ) = 8( 2k + 1005 ) ( k + 503 ) \(⋮\)8
Với p = 4k + 3 ta có: ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) = ( 4k + 2012) ( 4k + 2014) = 8( k + 503 ) ( 2k + 1007 ) \(⋮\)8
=> ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) \(⋮\)8 (2)
Từ (1) ; (2) và ( 3; 8) = 1; 3.8 = 24
=> ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) \(⋮\)24.