![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
b: \(=\dfrac{4x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{6x\left(x-1\right)}=\dfrac{2\left(x+1\right)}{3}\)
c: \(=\dfrac{\left(5-x-1\right)\left(5+x+1\right)}{\left(x+6\right)^2}=\dfrac{\left(4-x\right)\left(x+6\right)}{\left(x+6\right)^2}=\dfrac{4-x}{x+6}\)
d: \(=\dfrac{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{x+3}{x+2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Sửa đề: chứng minh:\(\frac{a^2}{\sqrt{12b^2+11bc+2c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{12c^2+11ca+2a^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{12a^2+11ca+2b^2}}\ge\frac{3}{5}\)
Ta có: \(12b^2+11bc+2c^2=\frac{1}{4}\left(7b+3c\right)^2-\frac{1}{4}\left(b-c\right)^2\le\frac{1}{4}\left(7b+3c\right)^2\)
Do đó: \(\frac{a^2}{\sqrt{12b^2+11bc+2c^2}}\ge\frac{2a^2}{7b+3c}\).Tương tự hai BĐT còn lại rồi cộng theo vế thu được:
\(VT\ge\frac{2a^2}{7b+3c}+\frac{2b^2}{7c+3a}+\frac{2c^2}{7a+3b}\)
\(=2\left(\frac{a^2}{7b+3c}+\frac{b^2}{7c+3a}+\frac{c^2}{7a+3b}\right)\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{10\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{5}\)(áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel)
Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
P/s: Is that true? Thấy đề nó là lạ nên sửa thôi chứ ko chắc rằng mình sửa đúng..
@Cool Kid: Cách của mình"
Đầu tiên ta xét hiệu: \(12b^2+11bc+2c^2-x\left(b-c\right)^2\). Ta chọn x để biểu thức sau khi phân tích có dạng một số chính phương.
\(=\left(12-x\right)b^2+\left(11+2x\right)bc+\left(2-x\right)c^2\)
\(=\left(12-x\right)\left(b+\frac{\left(11+2x\right)c}{2\left(12-x\right)}\right)^2+\left(2-x\right)c^2-\frac{\left(11+2x\right)^2c^2}{4\left(12-x\right)}\)
\(=\left(12-x\right)\left(b+\frac{\left(11+2x\right)c}{2\left(12-x\right)}\right)^2+c^2\left[\left(2-x\right)-\frac{\left(11+2x\right)^2}{4\left(12-x\right)}\right]\)
Đến đây thì ý tưởng đã rõ, ta chọn x sao cho 12 - x > 0 và:
\(\left(2-x\right)-\frac{\left(11+2x\right)^2}{4\left(12-x\right)}=0\). Bấm máy tính ta suy ra \(x=-\frac{1}{4}\)
Từ đó có thể dễ dàng suy ra cách phân tích bên trên
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
2. Vì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{z}\)
Ta có: \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^3-3\frac{1}{xy}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
\(=-\frac{1}{z^3}-\frac{3}{xy}.\left(-\frac{1}{z}\right)=-\frac{1}{z^3}+\frac{3}{xyz}\)
Do đó: \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)
Ta lại có: \(\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{xyz}{x^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{z^3}=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)
Thu gọn-.-?
Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2+\left(a-b+c\right)^2-2\left(b-c\right)^2\)
\(=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)+a^2+b^2+c^2+2\left(ca-ab-bc\right)-2\left(b^2-2bc+c^2\right)\)
\(=2a^2+2b^2+2c^2+4ca-2b^2+4bc-2c^2\)
\(=2a^2+4ca+4bc\)
( a + b + c )2 + ( a - b + c )2 - 2( b - c )2
= [ ( a + b ) + c ]2 + [ ( a - b ) + c ]2 - 2( b - c )2
= [ ( a + b )2 + 2( a + b )c + c2 ] + [ ( a - b )2 + 2( a - b )c + c2 ] - 2( b2 - 2bc + c2 )
= [ a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 ] + [ a2 - 2ab + b2 + 2ac - 2bc + c2 ] - 2b2 + 4bc - 2c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 + a2 - 2ab + b2 + 2ac - 2bc + c2 - 2b2 + 4bc - 2c2
= 2a2 + 4bc + 4ac
= 2( a2 + 2bc + 2ac )