Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2. Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương \(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\)ta có
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}\)\(=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Áp dụng BĐT cô si với hai số không âm ta có :
\(1.\sqrt{a+1}\le\frac{a+1+1}{2}=\frac{a}{2}+1\)
\(1.\sqrt{b+1}\le\frac{b}{2}+1\)
\(1.\sqrt{c+1}\le\frac{c}{2}+1\)
=> \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\le3+\frac{a+b+c}{2}=3+\frac{1}{2}=3,5\)
=> ĐPCM
\(A=\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\Rightarrow A^2=\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\right)^2\)
\(\Rightarrow A^2\le\left(1+1+1\right)\left(\sqrt{a+1}^2+\sqrt{b+1}^2+\sqrt{c+1}^2\right)\left(bunhiacopxki\right)\)
\(\Rightarrow A^2\le\left(1+1+1\right)\left(a+1+b+1+c+1\right)\)
\(\Rightarrow A^2\le3\left(a+b+c+3\right)=3.4=12\Rightarrow A\le\sqrt{12}< 3,5\left(dpcm\right)\)
\(a.\) Áp dụng BĐT Cô - Si cho các số không âm , ta có :
\(\sqrt{1}.\sqrt{a+1}\le\dfrac{a+1+1}{2}=\dfrac{a+2}{2}\)
\(\sqrt{1}.\sqrt{b+1}\le\dfrac{b+1+1}{2}=\dfrac{b+2}{2}\)
\(\sqrt{1}.\sqrt{c+1}\le\dfrac{c+1+1}{2}=\dfrac{c+2}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\le\dfrac{a+b+c+6}{2}=\dfrac{7}{2}=3,5\)
Dấu \("="\) xảy ra khi : \(\left\{{}\begin{matrix}a+1=1\\b+1=1\\c+1=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=c=0\)\(\Rightarrow a+b+c\ne1\left(trái-với-giả-thiết\right)\)
\(\Rightarrow\) Dấu \("="\) không xảy ra .
\(\Rightarrow\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}< 3,5\)
\(b.\) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta có :
\(\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+b+c+a+c\right)=3.2=6\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\le\sqrt{6}\)
Dấu " = " xảy ra khi : \(a+b=b+c=a+c\Rightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Câu a : Dùng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có :
\(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\le\sqrt{3\left(a+b+c+3\right)}=\sqrt{12}=3,46< 3,5\)
Câu b tương tự :
\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{6\left(a+b+c\right)}=\sqrt{6}\)
Ta có \(\sqrt{1+a}\le\frac{a\:+1+1}{2}=\frac{a+2}{2}\)
Tương tự \(\sqrt{1+b}\le\frac{b+2}{2}\)
\(\sqrt{1+C}\le\frac{c+2}{2}\)
Từ đó ta có \(\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}+\sqrt{1+c}\)<= \(\frac{a+b+c+6}{2}=\frac{7}{2}\)= 3,5
Bạn alibaba nguyễn hình như đọc không kĩ đề thì phải, ở đây ng ta bảo chứng minh bé hơn đâu phải bé hơn hoặc bằng đâu mà bạn dừng lại ở đó không giải tiếp ? ĐOạn sau các bạn làm như này nhé :
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a+1=1\\b+1=1\\c+1=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=0\\c=0\end{cases}}}\)(Vô lý)
vậy dấu "=" không xảy ra => \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}< 3,5\)
<=> √a+1+√b+1+√c+1< √12.25
<=>a+1+b+1+c+1< 12.25
<=>4<12.25(dpcm)
hay √2 <3.5
Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:
\(\left(a+1+b+1+c+1\right)3\ge\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\le\sqrt{12}< 3,5\)