Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét ΔABC vuông tại A có AD là đường cao
nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BD\cdot BC\\AC^2=CD\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow AB^2\cdot DC=AC^2\cdot BD\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
a. Áp dụng HTL trong tam giác vuông:
$AB^2=BD.BC$
$AC^2=CD.CB$
$\Rightarrow \frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BD}{CD}$
$\Rightarrow AB^2.CD=AC^2.BD$ (đpcm)
b.
Tứ giác $BEAC$ có $\widehat{BEC}=\widehat{BAC}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $BC$ nên $BEAC$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{AEC}=\widehat{ABC}=\widehat{IAC}$
Xét tam giác $CAI$ và $CEA$
$\widehat{C}$ chung
$\widehat{AEC}=\widehat{IAC}$ (cmt)
$\Rightarrow \triangle CAI\sim \triangle CEA$ (g.g)
c.
$\widehat{F_1}=90^0-\widehat{EIF}=90^0-\widehat{DIC}=\widehat{C_1}$
$\Rightarrow \triangle BFD\sim \triangle ICD$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{BD}{ID}=\frac{FD}{CD}$
$\Rightarrow BD.CD=ID.FD$
Mà $BD.CD=AD^2$ (HTL trong tam giác vuông)
$\Rightarrow AD^2=ID.FD$
$\Rightarrow \frac{ID}{AD}=\frac{AD}{FD}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow I$ là trung điểm $AD$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a/
Ta có A và E cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông => ACBE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
\(\Rightarrow\widehat{AEC}=\widehat{ABC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) (1)
Xét tg vuông ABC có \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\)
Xét tg vuông ACD có \(\widehat{CAD}+\widehat{ACB}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{CAD}\) (cùng phụ với \(\widehat{ACB}\)) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{AEC}=\widehat{CAD}\)
Xét \(\Delta CAI\) và \(\Delta CEA\) có
\(\widehat{AEC}=\widehat{CAD};\widehat{ACE}\) chung \(\Rightarrow\Delta CAI\) đồng dạng với \(\Delta CAE\) (g.g.g)
b/
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, Xét ΔABH và ΔAHD có
Góc A chung
Góc ADH=Góc AHB=90°
=> ΔABH ~ΔAHD(g.g)
=> AH/AB=AD/AH
=> AB.AD=AH²(1)
Xét ΔAEH và ΔAHC có:
Góc A chung
Góc AEH = góc AHC
=>ΔAEH~ΔAHC(g.g)
=> AE/AH=AH/AC
=>AE.AC=AH²(2)
Từ (1);(2) => AD.AB=AE.AC(đpcm)
b, vì ΔABC vuông tại A có AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền=> BI=IC=AI
=> ΔAIC cân tại I
=>góc IAC =góc ICA
Ta cũng có ΔBIA cân tại I =>góc IBA=góc BAI
Mà góc BAI =góc AED(cùng phụ)
=> góc IBA=góc AED
Mà ABI+góc ACI= 90°
=> gócAED + góc IAC=90°
=> DEvuông góc vs AI
c,
mình làm câu c,d nek bạn
c, ta có\(\Delta\)HEC vuông tại E( vì E là hình chiếu của H nên Góc E=90 độ)
=> EN là đường trung tuyến ứng vs cạnh huyền
=> EN=NH=NC( vì N là trung điểm của HC)
=> \(\Delta\)ENC cân tại N(NE=NC cmt)
=> góc NEC=góc NCE(hai góc đáy) (1)
chứng minh tương tự trong \(\Delta\)BMD cân tại M
=> góc DBM=góc MDB(2)
ta có \(\Delta\)ABC vuông tại A nên góc DBM+góc NCE=90 độ
=>góc MDB+ góc NEC(vì (1);(2)) (3)
và \(\Delta\)\(\Delta\)
DAE vuông tại A nên góc ADE+góc AED=90 độ (4)
từ (3);(4)=>góc BDM+góc ADE=90 độ
=> góc MDH+góc HDE=90 độ ( 180 độ - (MDH+HDE))
=> DM\(\perp\) DE (*)
và góc DEA+ góc NEC=90 độ
=> góc HDE+góc HEN= 90 độ
=> DE\(\perp\) EN (**)
từ (*); (**)=> MDEN là hình thang (DM // EN vì cùng \(\perp\)vs DE)
d, Ta có DHEA là hình chữ nhật (góc D= góc H =Góc E=90 độ)
=> OH=OA=OD=OE (t/c đường chéo hcn)
=> OH=OA=HA/2
ta có HM+HN=BM+NC(vì BM=MH; NH=NC)
=> MH+HN=BC/2=>MN=1/2 BC
diện tích \(\Delta\)ABC =1/2. AH. BC
diện tích \(\Delta\)MON=1/2.OH.MN=1/2.1/2AH.1/2BC
Vậy (S\(\Delta\) MON)/(S\(\Delta\)ABC)=(1/2.AH.BC)/(1/8 AH.BC)
=4
Mình nghĩ là làm như vậy, có gì bạn góp ý nha
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi K là trung điểm của BD
Xét ΔDBH có
K,I lần lượt là trung điểm của DB,DH
=>KI là đường trung bình của ΔDBH
=>KI//BH
Ta có: KI//BH
AH\(\perp\)BH
Do đó: KI\(\perp\)AH
Xét ΔAKH có
KI,HD là các đường cao
KI cắt HD tại I
Do đó: I là trực tâm
=>AI\(\perp\)HK
Ta có: ΔABC cân tại A
mà AH là đường cao
nên H là trung điểm của BC
Xét ΔBDC có
K,H lần lượt là trung điểm của BD,BC
=>KH là đường trung bình
=>KH//DC
Ta có: KH//DC
AI\(\perp\)KH
Do đó: AI\(\perp\)DC
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
b: góc HID+góc HKD=180 độ
=>HIDK nội tiếp
=>góc HIK=góc HDK
=>góc HIK=góc HCB
=>góc HIK=góc HEF
=>EF//IK
Gọi E là giao điểm của CK và AB. Tam giác CDK vuông tại D có đường cao DI nên \(KD^2=KI.KC\)
Mà \(KD=KA\) nên \(KA^2=KI.KC\) \(\Rightarrow\dfrac{KA}{KI}=\dfrac{KC}{KA}\)
Từ đó dễ dàng cm \(\Delta KAI~\Delta KCA\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{KIA}=\widehat{KAC}\)
Mà \(\widehat{KAC}=\widehat{KAE}\) (do AK là phân giác \(\widehat{BAC}\)) nên \(\widehat{KIA}=\widehat{KAE}\)
Từ đó suy ra \(\Delta EAK~\Delta EIA\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\widehat{EKA}=\widehat{EAI}\) hay \(\widehat{DKC}=\widehat{BAI}\).
Hơn nữa, \(\widehat{DKC}=\widehat{IDC}\) (cùng phụ với \(\widehat{DCK}\)) nên \(\widehat{IDC}=\widehat{BAI}\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác IABD nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong đối diện)
\(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{ADB}\).
Mà \(\widehat{ADB}=90^o\Rightarrow\widehat{AIB}=90^o\) (đpcm)