Dạng 1: Bất đẳng thức cô-si Bài 1 : Cho a,b.c>0 Chứng minh rằng $a^3 b^3 c^3\ge a^2b b^2c ca^2$từ đó Chứng minh dạng tổng quát là : $a^x b^x c^x\ge a^m.b^n b^m.c^n c^m.a^n$ ( m,n,x là các số nguyê...

#Toán lớp 1

4

TT

trần thành đạt

2 tháng 1 2018

bài 1 a, hình như có thêm đk là a+b+c=3

TT

trần thành đạt

2 tháng 1 2018

Bài 4 nha

Áp dụng BĐT cô si ta có

$\frac{1}{x^2}+x+x\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}.x.x}=3.$

Tương tự với y . $A\ge6$dấu = xảy ra khi x=y=1

1, cho a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2a+b}{a\left(a+2b\right)}+\frac{2b+c}{b\left(b+2c\right)}+\frac{2c+a}{c\left(a+2c\right)}$ 2,cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=5 và xy+yz+xz=8 chứng minh rằng $1\le x\le\frac{7}{3}$ 3, cho a,b,c>0 chứng minh rằng$\frac{a^2}{2a^2+\left(b+c-a\right)^2}+\frac{b^2}{2b^2+\left(b+c-a\right)^2}+\frac{c^2}{2c^2+\left(b+a-c\right)^2}\le1$ 4,cho a,b,c là các số thực bất kỳ chứng...

NT

Nghiêm Thị Nhân Đức

25 tháng 2 2020

#Toán lớp 9

1

CM

Copxki Minh

2 tháng 12 2020

Đặt $\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)$

$x+y+z\ge\frac{x^2+2xy}{2x+y}+\frac{y^2+2yz}{2y+z}+\frac{z^2+2zx}{2z+x}$

$\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{3xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{3zx}{2z+x}$

$\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{3}{9}xy\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{3}\left(x+2y\right)$

$\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{1}{3}\left[\left(x+2y\right)+\left(y+2z\right)+\left(z+2x\right)\right]=x+y+z$

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z

Bài 1: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: $\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c$ Bài 2: a) Tìm GTLN của A = $\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}$ b) Tìm GTLN của B = xy biết 4x + 5y = 40 Bài 3: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: $\dfrac{-a+b+c}{2a}+\dfrac{a-b+c}{2b}+\dfrac{a+b-c}{2c}\ge\dfrac{3}{2}$ Bài 4: Cho m, n > 0. Chứng...

ND

Nghịch Dư Thủy

29 tháng 4 2018

1

ND

Nhã Doanh

29 tháng 4 2018

Bài 1:

$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c$ với a,b,c > 0

Áp dụng BĐT Chauchy cho 2 số không âm, ta có:

$\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}=c\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)\ge c\sqrt{\dfrac{b}{a}.\dfrac{a}{b}}=2c$

$\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}=a\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}\right)\ge a\sqrt{\dfrac{c}{b}.\dfrac{b}{c}}=2a$

$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}=b\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\ge b\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}=2b$

Cộng vế theo vế ta được:

$2\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)$

$\Leftrightarrow\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c$

HQ

hki Qqwwqe

25 tháng 7 2018

Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: $a^2b+b^2c+c^2a\ge\dfrac{9a^2b^2c^2}{1+2a^2b^2c^2}$

#Toán lớp 9

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

26 tháng 7 2018

Lời giải:

Ta có: $a^2b+b^2c+c^2a\geq \frac{9a^2b^2c^2}{1+2a^2b^2c^2}$

$\Leftrightarrow (a^2b+b^2c+c^2a)(1+2a^2b^2c^2)\geq 9a^2b^2c^2$

$\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+2a^4b^3c^2+2a^2b^4c^3+2a^3b^2c^4\geq 3a^2b^2c^2(a+b+c)(*)$

--------------------------

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$a^2b+a^4b^3c^2+a^3b^2c^4\geq 3\sqrt[3]{a^9b^6c^6}=3a^3b^2c^2$

$b^2c+a^2b^4c^3+a^4b^3c^2\geq 3a^2b^3c^2$

$c^2a+a^3b^2c^4+a^2b^4c^3\geq 3a^2b^2c^3$

Cộng theo vế:

$\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+2a^4b^3c^2+2a^2b^4c^3+2a^3b^2c^4\geq 3a^2b^2c^2(a+b+c)$

Vậy $(*)$ đúng

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

AP

Anh Pha

26 tháng 7 2018

BĐT AM-GM là BĐT Côsi hở ???

1.Giải phương trình sau: [x-2015] + [2x-2016]= x-2017 2. Cho ba số thực a,b,c khác nhau thỏa mãn: $a+\frac{2020}{b}=b+\frac{2020}{c}=c+\frac{2020}{a}$. Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2=2020^3$ 3. Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a+b+c=9. Chứng minh: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge1$ 4. Chứng minh bất đẳng thức sau vớ a,b,c là các số dương: $\left(a+b+c\right)\times\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9$ 5. Cho a >0, b >0, c >0....

TD

Tranh Diệp Phi

25 tháng 6 2020

0

TT

Thành Trương

17 tháng 6 2018

1/ Chứng minh bất đẳng thức
a) 4x^2 + 4x + 5 > 0
b) a^2 + ab + b^2 ≥ 0

2/ Tam giác ABC cân tại A, các phân giác BD và CE (D thuộc AC, E thuộc AB). Chứng minh BEDC là hình thang cân

3/ Tìm số nguyên x, y thỏa mãn 1 + x + x^2 + x^3 = y^3

4/ Giải phương trình: (x^2 - 25/4)^2 = 10x + 1

1

VT

Văn Tú

17 tháng 6 2018

1/ a) $4x^2+4x+5>0$

<=> $\left(4x^2+4x+1\right)+4>0$
<=> $\left(2x+1\right)^2+4>0$ (bất đẳng thức đúng với mọi x)

b) $a^2+ab+b^2$≥ 0

<=> $2a^2+2ab+2b^2$ ≥ 0

<=> $\left(a^2+2ab+b^2\right)+a^2+b^2$ ≥ 0

<=> $\left(a+b\right)^2+a^2+b^{2^{ }}$ ≥ 0 (bất đẳng thức đúng với mọi a,b)

Dấu "=" xảy ra khi a + b = a = b = 0 hay a = b = 0.

2/

[Mình vẽ hình tượng trưng thôi chứ không đúng đâu nhé]

Xét tam giác ABD và tam giác ACE có

Góc A chung

AB = AC (Tam giác ABC cân tại A)

Góc ABD = góc ACE (=góc B/2 = góc C/2)

Suy ra: Tam giác ABD = tam giác ACE (g.c.g)

=> AE = AD (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác AED cân tại A

△ABC cân tại A

=> góc B = (180^o - góc A)/2 (1)

△AED cân tại A (cmt)

=> góc AED = (180^o - góc A)/2 (2)

Từ (1) và (2) => góc B = góc AED

=> ED //BC

=> Tứ giác BEDC là hình thang

mà góc B = góc C (Tam giác ABC cân tại A)

=> BEDC là hình thang cân.

3/ $1+x+x^2+x^3=y^3$

Ta nhận thấy: 1 + x + x² = $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2^{ }}+\dfrac{3}{4}>0$ với mọi x

nên x³ < 1 + x + x² + x³ hay x³ < y³ (1)

Xét hiệu (x+2)³ - y³ = (x+2)³ - (1+x+x²+x³) = 5x² + 11x + 7

= $5\left(x+\dfrac{11}{10}\right)^{2^{ }}+\dfrac{19}{20}>0$ nên (x+2)³ > y³ (2)

Từ (1) và (2) => x³ < y³ < (x+2)³

=> y³ = (x+1)³ (vì x,y là số nguyên)

hay 1 + x + x² + x³ = (x+1)³

<=> x² + x = 0 <=> x(x+1) = 0 <=> x = 0 hoặc x = -1

* Với x = -1 thì y = 1 + (-1) + (-1)² + (-1)³ = 0

* Với x = 0 thì y = 1 + 0 + 0² + 0³ = 1

Vậy Các số nguyên (x;y) cần tìm là (-1;0); (0;1).

4/ $\left(x^2-\dfrac{25}{4}\right)^2=10x+1$

<=> $x^4-\dfrac{25}{2}x^2+\dfrac{625}{16}=10x+1$

<=> $x^4-\dfrac{25}{2}x^2-10x+\dfrac{609}{16}=0$

<=> $\left(x^4-\dfrac{7}{2}x^3\right)+\left(\dfrac{7}{2}x^3-\dfrac{49}{4}x^2\right)-\left(\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{7}{8}x\right)-\left(\dfrac{87}{8}x+\dfrac{609}{16}\right)=0$

<=> $\left(x-\dfrac{7}{2}\right)\left(x^3+\dfrac{7}{2}x^2-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{87}{8}\right)=0$

<=> $\left(x-\dfrac{7}{2}\right)\left[\left(x^3-\dfrac{3}{2}x^2\right)+\left(5x^2-\dfrac{15}{2}x\right)+\left(\dfrac{29}{4}x-\dfrac{87}{8}\right)\right]=0$

<=> $\left(x-\dfrac{7}{2}\right)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(x^2+5x+\dfrac{29}{4}\right)=0$

<=> $x-\dfrac{7}{2}=0$ hoặc $x-\dfrac{3}{2}=0$ (vì $x^2+5x+\dfrac{29}{4}$≠ 0)

<=> x = 3.5 hoặc x = 1.5.

Bài 1: Cho a>0;b>0;c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:a)$a^3+b^3+c^3\ge a+b+c$b) $a^3+b^3+c^3\ge a^2+b^2+c^2$Bài 2: Với mọi a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng:$\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge a +b+c$Bài 3: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z\le1$Chứng minh...

DM

Đàm Minh Quang

26 tháng 2 2017

Câu hỏi hay

#Toán lớp 9

1

KR

kagamine rin len

28 tháng 2 2017

2a)với a,b,c là các số thực ta có

$a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2$

$\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|$

tương tự $\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|$

tương tự $\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|$

cộng từng vế mỗi BĐT ta được $\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c$

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

1.Cho đa thức f(x)=ax2 + bx + c với a, b, c là các hệ số nguyên. Chứng minh: f(x) + f(-x) ⋮ 2 với mọi số nguyên x . 2.Cho đa thức P(x)=ax+b (a, b ∈ Z;a ≠0). Chứng minh rằng:/P(2018) - P(1)/ ≥ 2017 3.Cho đa thức f(x) =2x2 + 3x +1.Chứng tỏ f(2n) - f(n) ⋮ 3. 4.Cho đa thức f(x) = 5x+1. Với 2 số a và b (a<b). 5.Cho đa thức f(x) = ax + b với a≠0, a ϵ Z. Chứng tỏ rằng /f (2017) - f(1)/ ≥ 2016. giúp mình...

T

Thúy

29 tháng 3 2019

#Toán lớp 7

0

SK

Shinichi Kudo

16 tháng 10 2021

cho các số hữu tỉ x=a/b, y=c/d,b>0,d>0 và các số tự nhiên m, n với m khác 0, n khác 0.Chứng minh rằng nếu a/b < c/d thì a/b < m.a+ n.c/m.b + n.d < c/d

#Toán lớp 7

0

HT

Hoàng Thị Mai Trang

27 tháng 2 2020

Bài 1: a) Cho x>0,y>0 và m,n là hai số thực .Chứng minh rằng $\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}$ ≥ $\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}$

b)Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng : $\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}$ ≥$\frac{3}{2}$

2

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

27 tháng 2 2020

a/ Bạn cứ khai triển biến đổi tương đương thôi (mà làm biếng lắm)

b/ Đặt $\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\Rightarrow xyz=1$

$VT=\frac{x^3yz}{y+z}+\frac{y^3zx}{z+x}+\frac{xyz^3}{x+y}=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}$

$VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{xyz}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=1$

HT

Hoàng Thị Mai Trang

27 tháng 2 2020

cảm ơn bạn nhưng nạ có thể giải nốt cậu a hộ mình đc ko